Google
Câu hỏi: Giải phương trình \(\cot x-\tan x+4\sin 2x=\dfrac{2}{\sin 2x}\)
Phương pháp giải
Tìm ĐKXĐ của phương trình.
Sử dụng công thức \(\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\) và \(\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}\) để biến đổi phương trình.
Sử dụng công thức nhân đôi.
Sử dụng công thức \({\sin}^2 x+{\cos}^2 x=1\).
Lời giải chi tiết
ĐKXĐ: \(\sin x\ne 0\) và \(\cos x\ne 0\) \(\Leftrightarrow \sin 2x\ne 0\)
\(\Leftrightarrow \cos 2x\ne \pm 1\)
Ta có: \(\cot x-\tan x+4\sin 2x=\dfrac{2}{\sin 2x}\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{\cos x}{\sin x}-\dfrac{\sin x}{\cos x}+4\sin 2x=\dfrac{2}{\sin 2x} \)
\(\Leftrightarrow \dfrac{{\cos}^2 x-{\sin}^2 x}{\sin x\cos x}+4\sin 2x=\dfrac{2}{\sin 2x} \)
\(\Leftrightarrow \dfrac{\cos 2x}{\dfrac{\sin 2x}{2}}+4\sin 2x=\dfrac{2}{\sin 2x} \)
\(\Leftrightarrow \dfrac{2\cos 2x}{\sin 2x}+4\sin 2x=\dfrac{2}{\sin 2x} \)
\(\Leftrightarrow 2\cos 2x+4{\sin}^2 2x=2\)
\(\Leftrightarrow 2\cos 2x+4(1-{\cos}^2 2x)=2\)
\(\Leftrightarrow 4{\cos}^2 2x-2\cos 2x+2=0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos 2x=1\text{(loại)}\\\cos 2x=-\dfrac{1}{2}\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow 2x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi, k\in\mathbb{Z}\)
\(\Leftrightarrow x=\pm\dfrac{\pi}{3}+k\pi, k\in\mathbb{Z}\).
Cách khác:
Đặt t = tanx
Điều kiện t ≠ 0
Phương trình đã cho có dạng
$\frac{1}{t}-t+4 \cdot \frac{2 t}{1+t^{2}}=\frac{1+t^{2}}{t}$
$\Leftrightarrow \frac{1-t^{2}}{t}+\frac{8 t}{1+t^{2}}-\frac{1+t^{2}}{t}=0$
$\Leftrightarrow 1-t^{4}+8 t^{2}-\left(1+t^{2}\right)^{2}=0$
$\Leftrightarrow-2 t^{4}+8 t^{2}-2 t^{2}=0$
$\Leftrightarrow t^{4}-3 t^{2}=0$
$\Rightarrow t^{2}\left(t^{3}-3\right)=0$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}t=0(\text { loại do }(2)) \\ t=\pm \sqrt{3}\end{array}\right.$
$\tan x=\pm \sqrt{3} \Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi}{3}+k \pi, k \in Z$
Tìm ĐKXĐ của phương trình.
Sử dụng công thức \(\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\) và \(\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}\) để biến đổi phương trình.
Sử dụng công thức nhân đôi.
Sử dụng công thức \({\sin}^2 x+{\cos}^2 x=1\).
Lời giải chi tiết
ĐKXĐ: \(\sin x\ne 0\) và \(\cos x\ne 0\) \(\Leftrightarrow \sin 2x\ne 0\)
\(\Leftrightarrow \cos 2x\ne \pm 1\)
Ta có: \(\cot x-\tan x+4\sin 2x=\dfrac{2}{\sin 2x}\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{\cos x}{\sin x}-\dfrac{\sin x}{\cos x}+4\sin 2x=\dfrac{2}{\sin 2x} \)
\(\Leftrightarrow \dfrac{{\cos}^2 x-{\sin}^2 x}{\sin x\cos x}+4\sin 2x=\dfrac{2}{\sin 2x} \)
\(\Leftrightarrow \dfrac{\cos 2x}{\dfrac{\sin 2x}{2}}+4\sin 2x=\dfrac{2}{\sin 2x} \)
\(\Leftrightarrow \dfrac{2\cos 2x}{\sin 2x}+4\sin 2x=\dfrac{2}{\sin 2x} \)
\(\Leftrightarrow 2\cos 2x+4{\sin}^2 2x=2\)
\(\Leftrightarrow 2\cos 2x+4(1-{\cos}^2 2x)=2\)
\(\Leftrightarrow 4{\cos}^2 2x-2\cos 2x+2=0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos 2x=1\text{(loại)}\\\cos 2x=-\dfrac{1}{2}\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow 2x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi, k\in\mathbb{Z}\)
\(\Leftrightarrow x=\pm\dfrac{\pi}{3}+k\pi, k\in\mathbb{Z}\).
Cách khác:
Đặt t = tanx
Điều kiện t ≠ 0
Phương trình đã cho có dạng
$\frac{1}{t}-t+4 \cdot \frac{2 t}{1+t^{2}}=\frac{1+t^{2}}{t}$
$\Leftrightarrow \frac{1-t^{2}}{t}+\frac{8 t}{1+t^{2}}-\frac{1+t^{2}}{t}=0$
$\Leftrightarrow 1-t^{4}+8 t^{2}-\left(1+t^{2}\right)^{2}=0$
$\Leftrightarrow-2 t^{4}+8 t^{2}-2 t^{2}=0$
$\Leftrightarrow t^{4}-3 t^{2}=0$
$\Rightarrow t^{2}\left(t^{3}-3\right)=0$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}t=0(\text { loại do }(2)) \\ t=\pm \sqrt{3}\end{array}\right.$
$\tan x=\pm \sqrt{3} \Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi}{3}+k \pi, k \in Z$