Bài 1.20 trang 10 SBT Đại số 10 Nâng cao

Câu hỏi: Cho các mệnh đề chứa biến : “ chia hết cho 5” ; : “  chia hết cho 5” và : và  đều không chia hết cho 5”
Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần và đủ”, phát biểu và chứng minh các định lí dưới đây:

Câu a​

Lời giải chi tiết:
Phát biểu như sau : “Điều kiện cần và đủ để số tự nhiên chia hết cho 5 là chia hết cho 5”
Chứng minh :
Nếu   thì  chia hết cho 5.
Ngược lại, giả sử với . Khi đó  chia hết cho 5 nên  phải chia hết cho 5.
Thử vào với , ta thấy chỉ có với thì  mới chia hết cho 5.
Do đó tức là n chia hết cho 5.

Câu b​

Lời giải chi tiết:
Phát biểu như sau : “Điều kiện cần và đủ để số tự nhiên n chia hết cho 5 là cả và  đều không chia hết cho 5”.
Chứng minh.
Nếu n chia hết cho 5 thì  chia cho 5 dư 4 và  chia 5 dư 1.
Đảo lại, giả sử và  đều không chia hết cho 5.
Gọi là số dư khi chia cho 5 ().
Ta có .
Vì  nên suy ra cả và  đều không chia hết cho 5.
Với thì  chia hết cho 5.
Với thì chia hết cho 5.
Với thì  chia hết cho 5.
Với thì chia hết cho 5.
Vậy chỉ có thể tức là hay chia hết cho 5.