Xét số phức $z$ thỏa mãn $\left| z-1-i \right|=5$. Khi $\left|...

Đặt $z=x+yi$ và gọi $M$ là điểm biểu diễn số phức $z$ trên mặt phẳng phức.
Khi đó bài toán trở thành tìm $M$ thuộc đường tròn $\left( C \right):\left\{ \begin{matrix}
I\left( 1;1 \right) \\
R=5 \\
\end{matrix} \right. $ sao cho $ MA+2MB $ đạt giá trị nhỏ nhất với $ A\left( 7;9 \right) $, $ B\left( 0;8 \right)$.
Ta có $\overrightarrow{IA}=\left( 6;8 \right)\Rightarrow IA=10=2R$. Ta cần tìm điểm $K$ sao cho $MA=2MK$.
Ta có $IA=2R$
Kẻ tiếp tuyến $EA$ của $\left( C \right)$, khi đó tam giác $AEI$ vuông tại $E$, kẻ đường cao $EK$ của tam giác $AEI$. Khi đó tam giác $AEI$ đồng dạng với tam giác $EKI$ $\Rightarrow \dfrac{EI}{KI}=\dfrac{AI}{EI}=2\Leftrightarrow KI=\dfrac{EI}{2}$ $\Rightarrow KI=\dfrac{1}{4}AI\Rightarrow K\left( \dfrac{5}{2};3 \right)$.
Khi đó $MA+2MB=2MK+2MB\ge 2KB$.
Đẳng thức xảy ra khi $M$ là giao điểm của $BK$ với $\left( C \right)$.
Ta có $BK:\left\{ \begin{matrix}
x=t \\
y=8-2t \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow M\left( t;8-2t \right)$.
Ta có $M\in \left( C \right)\Rightarrow {{\left( t-1 \right)}^{2}}+{{\left( 7-2t \right)}^{2}}=5\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
t=1\Rightarrow x=1\left( n \right) \\
t=5\Rightarrow x=5\left( l \right) \\
\end{matrix} \right.$
$\Rightarrow M\left( 1;6 \right)\Rightarrow z=1+6i\Rightarrow \left| z-1 \right|=6$.