Xét các số phức $z$ thỏa mãn $|z-i|=2$. Biết rằng biểu thức...

Điểm $M\left( x;y \right)$ biểu diễn số phức $z.$
Theo bài ra ta có $\left| z-i \right|=2$ $\Rightarrow MI=2$ $\Rightarrow M\in \left( I;2 \right)$ với $I=\left( 0;1 \right)$.
$P=\left| z+3i \right|+2\left| z-5-i \right|=MA+2MB$ với $A=\left( 0;-3 \right)$, $B=\left( 5;1 \right)$.
Ta có $IM=2$ ; $IA=4$. $OI=1$ $\Rightarrow \dfrac{IA}{IM}=\dfrac{IM}{IO}=2\Rightarrow \Delta IMO\sim \Delta IAM\Rightarrow MA=2MO.$
Từ đó $P=MA+2MB$ $=2\left( MO+MB \right)\ge 2OB.$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $M\equiv {{M}_{0}}$, $O$, $B$ thẳng hàng và ${{M}_{O}}$ thuộc đoạn thẳng $BO$.
Phương trình đường thẳng $OB:\left\{ \begin{aligned}
& x=5t \\
& y=t \\
\end{aligned} \right..$
Tọa độ điểm ${{M}_{O}}\left( x;y \right)$ thỏa mãn hệ $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=4 \\
& x=5t,y=t,x>0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& t=\dfrac{1+\sqrt{79}}{26} \\
& t=\dfrac{1-\sqrt{79}}{26} \\
\end{aligned} \right. \\
& x-y=4t,t>0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow x-y=\dfrac{2+2\sqrt{79}}{13}.$