Cho số phức $z$ thỏa mãn $5\left| z-i \right|=\left| z+1-3i...

Gọi $A\left( 0;1 \right)$, $B\left( -1;3 \right),C\left( 1;-1 \right)$. Ta thấy $A$ là trung điểm của $BC$
$\Rightarrow M{{A}^{2}}=\dfrac{M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}}{2}-\dfrac{B{{C}^{2}}}{4}$ $\Leftrightarrow M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}=2M{{A}^{2}}+\dfrac{B{{C}^{2}}}{2}=2M{{A}^{2}}+10$.
Ta lại có : $5\left| z-i \right|=\left| z+1-3i \right|+3\left| z-1+i \right|$
$\Leftrightarrow 5MA=MB+3MC\le \sqrt{10}.\sqrt{M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}}$ $\Rightarrow 25M{{A}^{2}}\le 10\left( 2M{{A}^{2}}+10 \right)$ $\Rightarrow MC\le 2\sqrt{5}$
Mà $\left| z-2+3i \right|=\left| \left( z-i \right)+\left( -2+4i \right) \right|$ $\le \left| z-i \right|+\left| 2-4i \right|$ $\le \left| z-i \right|+2\sqrt{5}\le 4\sqrt{5}$.
Dấu $''=''$ xảy ra khi $\left\{ \begin{aligned}
& \left| z-i \right|=2\sqrt{5} \\
& \dfrac{a}{-2}=\dfrac{b-1}{4} \\
\end{aligned} \right. $, với $ z=a+bi $; $ a,b\in \mathbb{R} $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& z=2-3i\left( loai \right) \\
& z=-2+5i \\
\end{aligned} \right.$.