Xét các số phức $z$ thoả $\left| {{z}^{2}}-6z+5-3i \right|=4\left|...

- Ta có $\left| {{z}^{2}}-6z+5-3i \right|=4\left| z-3 \right|\Leftrightarrow \left| {{\left( z-3 \right)}^{2}}-4-3i \right|=4\left| z-3 \right|$. Đặt $\text{w}=z-3$, khi đó biểu thức $\left| {{\left( z-3 \right)}^{2}}-4-3i \right|=4\left| z-3 \right|$ trở thành $\left| {{\text{w}}^{2}}-4-3i \right|=4\left| \text{w} \right|$.
- Áp dụng bất đẳng thức $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\ge \left| \left| {{z}_{1}} \right|-\left| {{z}_{2}} \right| \right|$ ta có,
$4\left| \text{w} \right|=\left| {{\text{w}}^{2}}-\left( 4+3i \right) \right|\ge \left| \left| {{\text{w}}^{2}} \right|-\left| 4+3i \right| \right|\Leftrightarrow 4\left| \text{w} \right|\ge \left| {{\left| \text{w} \right|}^{2}}-5 \right|$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow 16{{\left| \text{w} \right|}^{2}}\ge {{\left| \text{w} \right|}^{4}}-10{{\left| \text{w} \right|}^{2}}+25 \\
& \Leftrightarrow {{\left| \text{w} \right|}^{4}}-26{{\left| \text{w} \right|}^{2}}+25\le 0 \\
\end{aligned}$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow 1\le {{\left| \text{w} \right|}^{2}}\le 25 \\
& \Leftrightarrow 1 \le \left| \text{w} \right|\le 5 \\
\end{aligned}$
- Vậy: $P=\left| z-3 \right|=\left| \text{w} \right|$ đạt GTLN $M=5$ khi ${{\text{w}}^{2}}=k\left( 4+3i \right), k\ge 0$ và $\left| \text{w} \right|=5$ khi đó ta chọn $\text{w}=\dfrac{3\sqrt{10}}{2}+\dfrac{\sqrt{10}}{2}i$.
$P=\left| z-3 \right|=\left| \text{w} \right|$ đạt GTNN $m=1$ khi ${{\text{w}}^{2}}=h\left( 4+3i \right), h\ge 0$ và $\left| \text{w} \right|=1$ khi đó ta chọn $\text{w}=\dfrac{3\sqrt{10}}{10}+\dfrac{\sqrt{10}}{10}i$.