Google
Câu hỏi: Cho số phức $z$ thỏa mãn $3\left| \overline{z}-3i \right|=\left| {{z}^{2}}+3iz \right|+\left| {{z}^{2}}+9 \right|$. Gọi $M, m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $\left| z-1+5i \right|$. Khi đó, tổng ${{M}^{2}}+{{m}^{2}}$ bằng
A. $70.$
B. $71.$
C. $90.$
D. $91.$
A. $70.$
B. $71.$
C. $90.$
D. $91.$
$3\left| \overline{z}-3i \right|=\left| {{z}^{2}}+3iz \right|+\left| {{z}^{2}}+9 \right|\Leftrightarrow 3\left| z+3i \right|=\left| z \right|\left| z+3i \right|+\left| z+3i \right|\left| z-3i \right|\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
\left| z+3i \right|=0 \\
\left| z \right|+\left| z-3i \right|=3 \\
\end{matrix} \right.$.
Khi đó điểm $Z$ biểu diễn số phức $z$ có tọa độ $\left( 0;-3 \right)$ hoặc thuộc đoạn thẳng $OA$ với $A\left( 0;3 \right)$.
Ta có $\left| z-1+5i \right|=ZB$ với $B\left( 1;-5 \right)$.
Nếu $Z\left( 0;-3 \right)$, ta có $ZB=\sqrt{5}$. Ta có $BO=\sqrt{26}$ và $AB=\sqrt{65}$.
Hình chiếu ${B}'\left( 0;-5 \right)$ của $B$ trên đường thẳng $OA$ không thuộc đoạn $OA$, khi đó $M=\sqrt{65}$ và $m=\sqrt{5}$ $\Rightarrow {{M}^{2}}+{{m}^{2}}=70$.
\left| z+3i \right|=0 \\
\left| z \right|+\left| z-3i \right|=3 \\
\end{matrix} \right.$.
Khi đó điểm $Z$ biểu diễn số phức $z$ có tọa độ $\left( 0;-3 \right)$ hoặc thuộc đoạn thẳng $OA$ với $A\left( 0;3 \right)$.
Ta có $\left| z-1+5i \right|=ZB$ với $B\left( 1;-5 \right)$.
Hình chiếu ${B}'\left( 0;-5 \right)$ của $B$ trên đường thẳng $OA$ không thuộc đoạn $OA$, khi đó $M=\sqrt{65}$ và $m=\sqrt{5}$ $\Rightarrow {{M}^{2}}+{{m}^{2}}=70$.
Đáp án A.