Google
Câu hỏi: Xét các số phức $z, w$ thỏa mãn $\left| z+2w \right|=1$ và $\left| 3z-w \right|=2$. Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $P=7\left| z+w \right|+\left| z+9w \right|$. Tính giá trị của ${{M}^{2}}-{{m}^{2}}$.
A. $65$.
B. $16$.
C. $64$.
D. $17$.
A. $65$.
B. $16$.
C. $64$.
D. $17$.
Đặt ${{z}_{1}}=z+2w, {{z}_{2}}=3z-w$. Gọi $A\left( {{z}_{1}} \right), B\left( {{z}_{2}} \right)\Rightarrow OA=1; OB=2$.
$P=\left| 4{{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|+\left| 4{{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$.
${{\left| 4{{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}^{2}}={{\left| 4\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB} \right|}^{2}}=16O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}+8\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=20+16.cos\left( \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB} \right)=20+16x$
với $x=\cos \left( \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB} \right), x\in \left[ -1; 1 \right]$.
${{\left| 4{{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}={{\left| 4\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB} \right|}^{2}}=16O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}-8\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=20-16.cos\left( \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB} \right)=20-16x$.
Khi đó $P=\sqrt{20+16x}+\sqrt{20-16x}$.
Xét hàm số $f\left( x \right)=\sqrt{20+16x}+\sqrt{20-16x}$ trên đoạn $\left[ -1; 1 \right]$.
${f}'\left( x \right)=\dfrac{8}{\sqrt{20+16x}}-\dfrac{8}{\sqrt{20-16x}}=0\Leftrightarrow \sqrt{20+16x}=\sqrt{20-16x}\Leftrightarrow x=0$ (thỏa).
Ta có $f\left( -1 \right)=f\left( 1 \right)=8=m$ ; $f\left( 0 \right)=4\sqrt{5}=M$.
Vậy ${{M}^{2}}-{{m}^{2}}=16$.
$P=\left| 4{{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|+\left| 4{{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$.
${{\left| 4{{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}^{2}}={{\left| 4\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB} \right|}^{2}}=16O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}+8\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=20+16.cos\left( \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB} \right)=20+16x$
với $x=\cos \left( \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB} \right), x\in \left[ -1; 1 \right]$.
${{\left| 4{{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}={{\left| 4\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB} \right|}^{2}}=16O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}-8\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=20-16.cos\left( \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB} \right)=20-16x$.
Khi đó $P=\sqrt{20+16x}+\sqrt{20-16x}$.
Xét hàm số $f\left( x \right)=\sqrt{20+16x}+\sqrt{20-16x}$ trên đoạn $\left[ -1; 1 \right]$.
${f}'\left( x \right)=\dfrac{8}{\sqrt{20+16x}}-\dfrac{8}{\sqrt{20-16x}}=0\Leftrightarrow \sqrt{20+16x}=\sqrt{20-16x}\Leftrightarrow x=0$ (thỏa).
Ta có $f\left( -1 \right)=f\left( 1 \right)=8=m$ ; $f\left( 0 \right)=4\sqrt{5}=M$.
Vậy ${{M}^{2}}-{{m}^{2}}=16$.
Đáp án B.
