Google
Câu hỏi: Xét các số phức $z,w$ thỏa mãn $\left| z \right|=\left| w \right|=\left| z+w \right|=1$. Giá trị lớn nhất của $\left| z+\left( 1+\sqrt{3}i \right)w+\sqrt{3}-2i \right|$ bằng:
A. $\sqrt{7}$.
B. $1+\sqrt{7}$.
C. $2\sqrt{7}$.
D. $2+\sqrt{7}$.
A. $\sqrt{7}$.
B. $1+\sqrt{7}$.
C. $2\sqrt{7}$.
D. $2+\sqrt{7}$.
Gọi $A,B,C$ lần lượt là các điểm biểu diễn cho số phức $z, w, z+w$.
Theo giả thiết $\left| z \right|=\left| w \right|=\left| z+w \right|=1$ $\Rightarrow OACB$ là hình thoi và $OA=OB=OC=1$ $\Rightarrow (\overrightarrow{OA } , \overrightarrow{OB} )={{120}^{o}}$.
Gọi D là điểm biểu diễn cho số phức $u=\left( 1+\sqrt{3}i \right)w$. Khi đó $\left| u \right|=\left| \left( 1+\sqrt{3}i \right)w \right|=2.1=2$ $\Rightarrow (\overrightarrow{OB },\overrightarrow{OD} )={{60}^{o}}$. Do đó D là ảnh của B qua phép đồng dạng được thực hiện liên tiếp với hai phép: phép quay tâm O góc quay ${{60}^{o}}$ và phép vị tự tâm O tỉ số 2.
Theo bất đẳng thức modun, ta có: $\left| z+(1+\sqrt{3}i)w+\sqrt{3}-2i \right|\le \left| z+(1+\sqrt{3}i)w \right|+\left| \sqrt{3}-2i \right|$
Xét hai trường hợp:
298450013017500TH1: Góc lượng giác giữa $(OA ,OB)={{120}^{o}}$. Với A là điểm bất kỳ trên $\left( O;1 \right)$, ta có:
Khi đó: $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OD}$ là hai vectơ ngược hướng.
$\Rightarrow \left| z+(1+\sqrt{3}i)w \right|$ = $\left| \overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OA} \right|=1$.
$\Rightarrow \left( * \right)\Leftrightarrow \left| z+(1+\sqrt{3}i)w+\sqrt{3}-2i \right|\le 1+\sqrt{7}$.
TH2: Góc lượng giác giữa $(OA,OB)=-{{120}^{o}}$. Với A là điểm bất kỳ trên $\left( O;1 \right)$, ta có:
Khi đó: Tia $OD$ là phân giác của $\widehat{AOB}$.
$\Rightarrow \left| z+(1+\sqrt{3}i)w \right|$ = $\left| \overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OA} \right|=\sqrt{O{{A}^{2}}+O{{D}^{2}}-2OA.OD.\cos \text{12}{{\text{0}}^{o}}}=\sqrt{7}$.
$\Rightarrow \left( * \right)\Leftrightarrow \left| z+(1+\sqrt{3}i)w+\sqrt{3}-2i \right|\le \sqrt{7}+\sqrt{7}$
$\Leftrightarrow \left| z+(1+\sqrt{3}i)w+\sqrt{3}-2i \right|\le 2\sqrt{7}$
Dấu bằng xảy ra khi $\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OA}$ cùng hướng với véc tơ $\overrightarrow{v}(\sqrt{3}; -2)$
So sánh hai trường hợp, giá trị lớn nhất của $\left| z+(1+\sqrt{3}i)w+\sqrt{3}-2i \right|$ bằng $2\sqrt{7}$.
Theo giả thiết $\left| z \right|=\left| w \right|=\left| z+w \right|=1$ $\Rightarrow OACB$ là hình thoi và $OA=OB=OC=1$ $\Rightarrow (\overrightarrow{OA } , \overrightarrow{OB} )={{120}^{o}}$.
Gọi D là điểm biểu diễn cho số phức $u=\left( 1+\sqrt{3}i \right)w$. Khi đó $\left| u \right|=\left| \left( 1+\sqrt{3}i \right)w \right|=2.1=2$ $\Rightarrow (\overrightarrow{OB },\overrightarrow{OD} )={{60}^{o}}$. Do đó D là ảnh của B qua phép đồng dạng được thực hiện liên tiếp với hai phép: phép quay tâm O góc quay ${{60}^{o}}$ và phép vị tự tâm O tỉ số 2.
Theo bất đẳng thức modun, ta có: $\left| z+(1+\sqrt{3}i)w+\sqrt{3}-2i \right|\le \left| z+(1+\sqrt{3}i)w \right|+\left| \sqrt{3}-2i \right|$
Xét hai trường hợp:
298450013017500TH1: Góc lượng giác giữa $(OA ,OB)={{120}^{o}}$. Với A là điểm bất kỳ trên $\left( O;1 \right)$, ta có:
$\Rightarrow \left| z+(1+\sqrt{3}i)w \right|$ = $\left| \overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OA} \right|=1$.
$\Rightarrow \left( * \right)\Leftrightarrow \left| z+(1+\sqrt{3}i)w+\sqrt{3}-2i \right|\le 1+\sqrt{7}$.
TH2: Góc lượng giác giữa $(OA,OB)=-{{120}^{o}}$. Với A là điểm bất kỳ trên $\left( O;1 \right)$, ta có:
$\Rightarrow \left| z+(1+\sqrt{3}i)w \right|$ = $\left| \overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OA} \right|=\sqrt{O{{A}^{2}}+O{{D}^{2}}-2OA.OD.\cos \text{12}{{\text{0}}^{o}}}=\sqrt{7}$.
$\Rightarrow \left( * \right)\Leftrightarrow \left| z+(1+\sqrt{3}i)w+\sqrt{3}-2i \right|\le \sqrt{7}+\sqrt{7}$
$\Leftrightarrow \left| z+(1+\sqrt{3}i)w+\sqrt{3}-2i \right|\le 2\sqrt{7}$
Dấu bằng xảy ra khi $\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OA}$ cùng hướng với véc tơ $\overrightarrow{v}(\sqrt{3}; -2)$
So sánh hai trường hợp, giá trị lớn nhất của $\left| z+(1+\sqrt{3}i)w+\sqrt{3}-2i \right|$ bằng $2\sqrt{7}$.
Đáp án C.