Google
Câu hỏi: Xét các số phức ${{z}_{1}}$ và ${{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=1$, $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\sqrt{2}$. Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức $P=\left| 3i\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)+9-{{z}_{1}}{{z}_{2}} \right|$. Tổng $M+m$ thuộc khoảng nào dưới đây?
A. $\left( 17;19 \right)$.
B. $\left( 20;22 \right)$.
C. $\left( 16;18 \right)$.
D. $\left( 19;21 \right)$.
A. $\left( 17;19 \right)$.
B. $\left( 20;22 \right)$.
C. $\left( 16;18 \right)$.
D. $\left( 19;21 \right)$.
Gọi $A,B$ lần lượt là điểm biểu diễn của số phức ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$.
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& OA=OB=1 \\
& \left| \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB} \right|=\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \Delta OAB $ vuông cân tại $ O $ $ \Rightarrow OA\bot OB\Rightarrow {{z}_{2}}=i.{{z}_{1}}$.
Ta có: $P=\left| 3i\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)+9-{{z}_{1}}{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}{{z}_{2}}-3i\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)+9{{i}^{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-3i \right|.\left| {{z}_{2}}-3i \right|$
$=\left| {{z}_{1}}-3i \right|.\left| i{{z}_{1}}-3i \right|=\left| {{z}_{1}}-3i \right|.\left| {{z}_{1}}-3 \right|$.
Với $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=1\Rightarrow {{z}_{1}}=\cos \alpha +i\sin \alpha $.
Ta có: ${{P}^{2}}=\left[ {{\cos }^{2}}\alpha +{{(\sin \alpha -3)}^{2}} \right].\left[ {{\sin }^{2}}\alpha +{{(\cos \alpha -3)}^{2}} \right]=(10-6\sin \alpha )(10-6\cos \alpha )$
$=100-60(\cos \alpha +\sin \alpha )+36\cos \alpha .\sin \alpha $.
$\Rightarrow {{P}^{2}}=18{{t}^{2}}-60t+82,$ với $t=\cos \alpha +\sin \alpha ,t\in [-\sqrt{2};\sqrt{2}]$.
Xét $f(t)=18{{t}^{2}}-60t+82,t\in [-\sqrt{2};\sqrt{2}]$
Ta có: ${f}'(t)=36t-60<0,\forall t\in [-\sqrt{2};\sqrt{2}]$.
Suy ra $M=\max P=\sqrt{f(-\sqrt{2})}=10-\sqrt{18}; m=\min P=\sqrt{f(\sqrt{2})}=10+\sqrt{18}.$
Vậy $M+m=20\in (19;21)$.
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& OA=OB=1 \\
& \left| \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB} \right|=\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \Delta OAB $ vuông cân tại $ O $ $ \Rightarrow OA\bot OB\Rightarrow {{z}_{2}}=i.{{z}_{1}}$.
Ta có: $P=\left| 3i\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)+9-{{z}_{1}}{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}{{z}_{2}}-3i\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)+9{{i}^{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-3i \right|.\left| {{z}_{2}}-3i \right|$
$=\left| {{z}_{1}}-3i \right|.\left| i{{z}_{1}}-3i \right|=\left| {{z}_{1}}-3i \right|.\left| {{z}_{1}}-3 \right|$.
Với $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=1\Rightarrow {{z}_{1}}=\cos \alpha +i\sin \alpha $.
Ta có: ${{P}^{2}}=\left[ {{\cos }^{2}}\alpha +{{(\sin \alpha -3)}^{2}} \right].\left[ {{\sin }^{2}}\alpha +{{(\cos \alpha -3)}^{2}} \right]=(10-6\sin \alpha )(10-6\cos \alpha )$
$=100-60(\cos \alpha +\sin \alpha )+36\cos \alpha .\sin \alpha $.
$\Rightarrow {{P}^{2}}=18{{t}^{2}}-60t+82,$ với $t=\cos \alpha +\sin \alpha ,t\in [-\sqrt{2};\sqrt{2}]$.
Xét $f(t)=18{{t}^{2}}-60t+82,t\in [-\sqrt{2};\sqrt{2}]$
Ta có: ${f}'(t)=36t-60<0,\forall t\in [-\sqrt{2};\sqrt{2}]$.
Suy ra $M=\max P=\sqrt{f(-\sqrt{2})}=10-\sqrt{18}; m=\min P=\sqrt{f(\sqrt{2})}=10+\sqrt{18}.$
Vậy $M+m=20\in (19;21)$.
Đáp án D.