Google
Câu hỏi: Xét các số phức $w,{{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}+1+2i \right|+\left| {{z}_{1}}-5-6i \right|=10$ và $\left| w+i \right|=\dfrac{3\sqrt{5}}{5}$, $5w=\left( 2+i \right)\left( {{z}_{2}}-4 \right)$. Gọi $a$ là giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $a\in \left( 1;3 \right)$.
B. $a\in \left( -1;1 \right)$.
C. $a\in \left( 0;2 \right)$.
D. $a\in \left( 2;5 \right)$.
A. $a\in \left( 1;3 \right)$.
B. $a\in \left( -1;1 \right)$.
C. $a\in \left( 0;2 \right)$.
D. $a\in \left( 2;5 \right)$.
$5w=\left( 2+i \right)\left( {{z}_{2}}-4 \right)\Leftrightarrow 5w+5i=\left( 2+i \right){{z}_{2}}-8+i\Rightarrow \left| \left( 2+i \right){{z}_{2}}-8+i \right|=3\sqrt{5}\Leftrightarrow \left| -{{z}_{2}}+3-2i \right|=3$ $\Rightarrow $ Tập hợp điểm $N$ biểu diễn của số phức $-{{z}_{2}}$ là đường tròn tâm $I\left( -3;2 \right)$ bán kính $R=3$.
Ta có $\left| -1-2i-\left( 5+6i \right) \right|=10$ nên tập hợp điểm biểu diễn $M$ biểu diễn của phức ${{z}_{1}}$ là đoạn thẳng $AB$ với $A\left( -1;-2 \right)$ và $B\left( 5;6 \right)$.
Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left( 6;8 \right)=2\left( 3;4 \right)$ nên phương trình đường thẳng AB: $4x-3y-2=0$.
$d\left( I,AB \right)=\dfrac{\left| 4.\left( -3 \right)-3.2-2 \right|}{\sqrt{16+9}}=4$
Khi đó: $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-\left( -{{z}_{2}} \right) \right|=MN$. Suy ra, $a=M{{N}_{min}}=d\left( I,AB \right)-R=4-3=1$.
Ta có $\left| -1-2i-\left( 5+6i \right) \right|=10$ nên tập hợp điểm biểu diễn $M$ biểu diễn của phức ${{z}_{1}}$ là đoạn thẳng $AB$ với $A\left( -1;-2 \right)$ và $B\left( 5;6 \right)$.
$d\left( I,AB \right)=\dfrac{\left| 4.\left( -3 \right)-3.2-2 \right|}{\sqrt{16+9}}=4$
Khi đó: $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-\left( -{{z}_{2}} \right) \right|=MN$. Suy ra, $a=M{{N}_{min}}=d\left( I,AB \right)-R=4-3=1$.
Đáp án C.