Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, từ điểm $A\left( 1;1;0...

Ta có $\left( S \right):{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow \left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2x-2y-2z+2=0$.
Ta có $AM=\sqrt{I{{A}^{2}}-{{R}^{2}}}=\sqrt{5-1}=2$.
Vậy tập hợp các điểm $M$ là đường tròn giao tuyến $\left( C \right)$ của mặt cầu $\left( S \right)$ và mặt cầu $\left( {{S}'} \right)$ có tâm là điểm $A$ và bán kính bằng $2$.
Ta có $\left( {{S}'} \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=4\Leftrightarrow \left( {{S}'} \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2y-2=0$.
Khi đó mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa đường tròn giao tuyến $\left( C \right)$ có phương trình là $\left( P \right):2x-z+2=0$.
Do $M\left( a;b;c \right)$ thuộc $\left( P \right):2x-z+2=0$ nên $2a-c+2=0\Leftrightarrow c=2a+2$, khi đó $T=\left| 4a+1 \right|$.
Mặt khác $M\left( a;b;c \right)$ thuộc $\left( S \right)$, $\left( {{S}'} \right)$ hay $\left\{ \begin{matrix}
{{\left( a+1 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{\left( c-1 \right)}^{2}}=1 \\
{{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{c}^{2}}=4 \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
-1\le a+1\le 1 \\
-2\le a-1\le 2 \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow -1\le a\le 0 $, khi đó $ 0\le T\le 3$.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{matrix}
{{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{c}^{2}}=4 \\
2a-c+2=0 \\
a=-1 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a=-1 \\
b=1 \\
c=0 \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow M\left( -1;1;0 \right)$.