Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, từ điểm $A\left( 1;1;0 \right)$ ta kẻ các tiếp tuyến đến mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( -1;1;1 \right)$ và bán kính $R=1$. Gọi $M\left( a;b;c \right)$ là một trong các tiếp điểm ứng với các tiếp tuyến trên. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T=\left| 2a-b+2c \right|$.
A. $\dfrac{3-2\sqrt{41}}{15}$.
B. $\dfrac{3+2\sqrt{41}}{5}$.
C. $\dfrac{3+\sqrt{41}}{5}$.
D. $\dfrac{3+\sqrt{41}}{15}$.
A. $\dfrac{3-2\sqrt{41}}{15}$.
B. $\dfrac{3+2\sqrt{41}}{5}$.
C. $\dfrac{3+\sqrt{41}}{5}$.
D. $\dfrac{3+\sqrt{41}}{15}$.
Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ : ${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=1$.
Ta có $\overrightarrow{IA}=\left( 2;0;-1 \right)$ nên $AI=\sqrt{5}$ và $AM=\sqrt{A{{I}^{2}}-{{R}^{2}}}=2$.
Vậy $M$ thuộc mặt cầu $\left( {{S}'} \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=4$.
$\Rightarrow $ $M$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$ là giao tuyến giữa $\left( S \right)$ và $\left( {{S}'} \right)$.
$\Rightarrow $ $\left( C \right)$ thuộc mặt phẳng $\left( P \right):2x-y+2=0$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $M$ trên $AI$ thì $IH.IA=I{{M}^{2}}\Leftrightarrow \dfrac{IH}{IA}=\dfrac{I{{M}^{2}}}{I{{A}^{2}}}=\dfrac{1}{5}$.
Suy ra $\overrightarrow{IH}=\dfrac{1}{5}\overrightarrow{IA}$ nên $H\left( -\dfrac{3}{5};1;\dfrac{4}{5} \right)$ là tâm đường tròn $\left( C \right)$.
Bán kính đường tròn $\left( C \right)$ bằng $r=MH=\sqrt{M{{I}^{2}}-I{{H}^{2}}}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}$.
Gọi $\left( Q \right)$ là mặt phẳng $2x-y+2z=0$ và $F$ là hình chiếu của $H$ lên $\left( Q \right)$.
Khi đó ta có $HF=d\left( H,\left( Q \right) \right)=\dfrac{1}{5}$ và $\cos \alpha =\dfrac{2}{3\sqrt{5}}$ ; với $\alpha $ là góc giữa $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$. $\Rightarrow \sin \alpha =\dfrac{\sqrt{41}}{3\sqrt{5}}$.
Gọi $\left( d \right)$ là giao tuyến của $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$.
Gọi $K$ là hình chiếu của $H$ trên $\left( d \right)$ nên $HK=\dfrac{HF}{\sin \alpha }=\dfrac{3\sqrt{5}}{5\sqrt{41}}$.
Gọi ${{M}_{0}}$ là giao điểm tia đối $HK$ cắt $\left( C \right)$ $\Rightarrow {{M}_{0}}K=HK+r=\dfrac{3\sqrt{5}}{5\sqrt{41}}+\dfrac{2}{\sqrt{5}}$.
Dễ dàng thấy với mọi $M\in \left( C \right)$, khoảng cách lớn nhất từ $M$ đến $\left( Q \right)$ là $d\left( {{M}_{0}};\left( Q \right) \right)$.
$d\left( M;\left( Q \right) \right)={{M}_{0}}K.\sin \alpha =\left( \dfrac{3\sqrt{5}}{5\sqrt{41}}+\dfrac{2}{\sqrt{5}} \right)\dfrac{\sqrt{41}}{3\sqrt{5}}=\dfrac{3+2\sqrt{41}}{15}$
Mặt khác $d\left( M;\left( Q \right) \right)=\dfrac{\left| 2a-b+2c \right|}{3}$ nên $T=3d\left( M;\left( Q \right) \right)\le 3d\left( {{M}_{0}};\left( Q \right) \right)=\dfrac{3+2\sqrt{41}}{5}$.
Ta có $\overrightarrow{IA}=\left( 2;0;-1 \right)$ nên $AI=\sqrt{5}$ và $AM=\sqrt{A{{I}^{2}}-{{R}^{2}}}=2$.
Vậy $M$ thuộc mặt cầu $\left( {{S}'} \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=4$.
$\Rightarrow $ $M$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$ là giao tuyến giữa $\left( S \right)$ và $\left( {{S}'} \right)$.
$\Rightarrow $ $\left( C \right)$ thuộc mặt phẳng $\left( P \right):2x-y+2=0$.
Suy ra $\overrightarrow{IH}=\dfrac{1}{5}\overrightarrow{IA}$ nên $H\left( -\dfrac{3}{5};1;\dfrac{4}{5} \right)$ là tâm đường tròn $\left( C \right)$.
Bán kính đường tròn $\left( C \right)$ bằng $r=MH=\sqrt{M{{I}^{2}}-I{{H}^{2}}}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}$.
Gọi $\left( Q \right)$ là mặt phẳng $2x-y+2z=0$ và $F$ là hình chiếu của $H$ lên $\left( Q \right)$.
Khi đó ta có $HF=d\left( H,\left( Q \right) \right)=\dfrac{1}{5}$ và $\cos \alpha =\dfrac{2}{3\sqrt{5}}$ ; với $\alpha $ là góc giữa $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$. $\Rightarrow \sin \alpha =\dfrac{\sqrt{41}}{3\sqrt{5}}$.
Gọi $\left( d \right)$ là giao tuyến của $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$.
Gọi ${{M}_{0}}$ là giao điểm tia đối $HK$ cắt $\left( C \right)$ $\Rightarrow {{M}_{0}}K=HK+r=\dfrac{3\sqrt{5}}{5\sqrt{41}}+\dfrac{2}{\sqrt{5}}$.
Dễ dàng thấy với mọi $M\in \left( C \right)$, khoảng cách lớn nhất từ $M$ đến $\left( Q \right)$ là $d\left( {{M}_{0}};\left( Q \right) \right)$.
$d\left( M;\left( Q \right) \right)={{M}_{0}}K.\sin \alpha =\left( \dfrac{3\sqrt{5}}{5\sqrt{41}}+\dfrac{2}{\sqrt{5}} \right)\dfrac{\sqrt{41}}{3\sqrt{5}}=\dfrac{3+2\sqrt{41}}{15}$
Mặt khác $d\left( M;\left( Q \right) \right)=\dfrac{\left| 2a-b+2c \right|}{3}$ nên $T=3d\left( M;\left( Q \right) \right)\le 3d\left( {{M}_{0}};\left( Q \right) \right)=\dfrac{3+2\sqrt{41}}{5}$.
Đáp án B.