Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, từ điểm $A\left( 1; 1; 0 \right)$ ta kẻ các tiếp tuyến đến mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( -1; 1; 1 \right)$, bán kính $R=1$. Gọi $M\left( a; b; c \right)$ là một trong các tiếp điểm ứng với các tiếp tuyến trên. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T=\left| 2a-b+2c \right|$.
A. $\dfrac{3+\sqrt{41}}{15}.$
B. $\dfrac{3+\sqrt{41}}{5}.$
C. $\dfrac{3+2\sqrt{41}}{15}.$
D. $\dfrac{3+2\sqrt{41}}{5}.$
Do $AM$ là tiếp tuyến của mặt cầu $\left( S \right)$ nên $AM\bot IM$ nên tam giác $IAM$ vuông tại $M$
Xét $\Delta IAM$, có: $IA=\sqrt{5}, IM=1$ $\Rightarrow MA=\sqrt{I{{A}^{2}}-{{R}^{2}}}=2$
$\Rightarrow $ $M$ thuộc mặt cầu tâm $A$ bán kính là $2$.
Khi đó $M$ thuộc đường tròn giao tuyến $\left( C \right)$ của mặt cầu tâm $I$ bán kính $R=1$ và mặt cầu tâm $A$ bán kính $R=2$.
$\left( C \right)\subset \left( P \right):\left\{ \begin{matrix}
{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=1 \\
{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=4 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left( C \right)\subset \left( P \right):2x-z+2=0$
Ta có $IA:\left\{ \begin{matrix}
x=1-2t \\
y=1 \\
z=t \\
\end{matrix} \right.,\left( t\in \mathbb{R} \right) $, gọi $ E$ là tâm đường tròn giao tuyến, khi đó:
$E=IA\cap \left( P \right)\Rightarrow E\left( \dfrac{-3}{5};1;\dfrac{4}{5} \right)$. Xét $\Delta IAM$, có: $r=EM=\dfrac{MA.MI}{IA}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}$
$\Rightarrow M$ thuộc mặt cầu tâm $E\left( \dfrac{-3}{5};1;\dfrac{4}{5} \right)$ bán kính $R=\dfrac{2}{\sqrt{5}}$ hay ${{\left( a+\dfrac{3}{5} \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{\left( c-\dfrac{4}{5} \right)}^{2}}=\dfrac{4}{5}$
Do $M\in \left( P \right)\Rightarrow 2a-c+2=0\Leftrightarrow c=2a+2$
Khi đó ta có được $\left\{ \begin{matrix}
{{\left( a+\dfrac{3}{5} \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{\left( 2a+\dfrac{6}{5} \right)}^{2}}=\dfrac{4}{5} \\
T=\left| 6a-b+4 \right| \\
\end{matrix} \right.$
${{\left( a+\dfrac{3}{5} \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{\left( 2a+\dfrac{6}{5} \right)}^{2}}=\dfrac{4}{5}\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{5}a+\dfrac{3}{\sqrt{5}} \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}=\dfrac{4}{5}$.
Ta có $6a-b+4=\dfrac{6}{\sqrt{5}}\left( \sqrt{5}a+\dfrac{3}{\sqrt{5}} \right)-\left( b-1 \right)-\dfrac{3}{5}$.
Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopski:
$\left| \dfrac{6}{\sqrt{5}}\left( \sqrt{5}a+\dfrac{3}{\sqrt{5}} \right)-\left( b-1 \right) \right|\le \sqrt{\left[ {{\left( \sqrt{5}a+\dfrac{3}{\sqrt{5}} \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}} \right]\left[ {{\left( \dfrac{6}{\sqrt{5}} \right)}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}} \right]}=\dfrac{2\sqrt{41}}{5}$
$\dfrac{-2\sqrt{41}}{5}\le \dfrac{6}{\sqrt{5}}\left( \sqrt{5}a+\dfrac{3}{\sqrt{5}} \right)-\left( b-1 \right)\le \dfrac{2\sqrt{41}}{5}$
$\Leftrightarrow \dfrac{-2\sqrt{41}}{5}-\dfrac{3}{5}\le 6a-b+4\le \dfrac{2\sqrt{41}}{5}-\dfrac{3}{5}\Rightarrow \left| 6a-b+4 \right|\le \dfrac{3}{5}+\dfrac{2\sqrt{41}}{5}$.
A. $\dfrac{3+\sqrt{41}}{15}.$
B. $\dfrac{3+\sqrt{41}}{5}.$
C. $\dfrac{3+2\sqrt{41}}{15}.$
D. $\dfrac{3+2\sqrt{41}}{5}.$
Xét $\Delta IAM$, có: $IA=\sqrt{5}, IM=1$ $\Rightarrow MA=\sqrt{I{{A}^{2}}-{{R}^{2}}}=2$
$\Rightarrow $ $M$ thuộc mặt cầu tâm $A$ bán kính là $2$.
Khi đó $M$ thuộc đường tròn giao tuyến $\left( C \right)$ của mặt cầu tâm $I$ bán kính $R=1$ và mặt cầu tâm $A$ bán kính $R=2$.
$\left( C \right)\subset \left( P \right):\left\{ \begin{matrix}
{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=1 \\
{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=4 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left( C \right)\subset \left( P \right):2x-z+2=0$
Ta có $IA:\left\{ \begin{matrix}
x=1-2t \\
y=1 \\
z=t \\
\end{matrix} \right.,\left( t\in \mathbb{R} \right) $, gọi $ E$ là tâm đường tròn giao tuyến, khi đó:
$E=IA\cap \left( P \right)\Rightarrow E\left( \dfrac{-3}{5};1;\dfrac{4}{5} \right)$. Xét $\Delta IAM$, có: $r=EM=\dfrac{MA.MI}{IA}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}$
$\Rightarrow M$ thuộc mặt cầu tâm $E\left( \dfrac{-3}{5};1;\dfrac{4}{5} \right)$ bán kính $R=\dfrac{2}{\sqrt{5}}$ hay ${{\left( a+\dfrac{3}{5} \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{\left( c-\dfrac{4}{5} \right)}^{2}}=\dfrac{4}{5}$
Do $M\in \left( P \right)\Rightarrow 2a-c+2=0\Leftrightarrow c=2a+2$
Khi đó ta có được $\left\{ \begin{matrix}
{{\left( a+\dfrac{3}{5} \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{\left( 2a+\dfrac{6}{5} \right)}^{2}}=\dfrac{4}{5} \\
T=\left| 6a-b+4 \right| \\
\end{matrix} \right.$
${{\left( a+\dfrac{3}{5} \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{\left( 2a+\dfrac{6}{5} \right)}^{2}}=\dfrac{4}{5}\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{5}a+\dfrac{3}{\sqrt{5}} \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}=\dfrac{4}{5}$.
Ta có $6a-b+4=\dfrac{6}{\sqrt{5}}\left( \sqrt{5}a+\dfrac{3}{\sqrt{5}} \right)-\left( b-1 \right)-\dfrac{3}{5}$.
Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopski:
$\left| \dfrac{6}{\sqrt{5}}\left( \sqrt{5}a+\dfrac{3}{\sqrt{5}} \right)-\left( b-1 \right) \right|\le \sqrt{\left[ {{\left( \sqrt{5}a+\dfrac{3}{\sqrt{5}} \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}} \right]\left[ {{\left( \dfrac{6}{\sqrt{5}} \right)}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}} \right]}=\dfrac{2\sqrt{41}}{5}$
$\dfrac{-2\sqrt{41}}{5}\le \dfrac{6}{\sqrt{5}}\left( \sqrt{5}a+\dfrac{3}{\sqrt{5}} \right)-\left( b-1 \right)\le \dfrac{2\sqrt{41}}{5}$
$\Leftrightarrow \dfrac{-2\sqrt{41}}{5}-\dfrac{3}{5}\le 6a-b+4\le \dfrac{2\sqrt{41}}{5}-\dfrac{3}{5}\Rightarrow \left| 6a-b+4 \right|\le \dfrac{3}{5}+\dfrac{2\sqrt{41}}{5}$.
Đáp án D.