Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P): 2 x-y+z-10=0$, điểm $I(1 ; 3 ; 2)$ và đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=-2+2 t \\ y=1+t \\ z=1-t\end{array}\right.$. Tìm phương trình đường thẳng $\Delta$ cắt $(P)$ và $d$ lần lượt tại hai điểm $M$ và $N$ sao cho $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $MN$.
A. $\dfrac{x+6}{7}=\dfrac{y+1}{4}=\dfrac{z-3}{-1}$.
B. $\dfrac{x+6}{7}=\dfrac{y+1}{-4}=\dfrac{z-3}{-1}$.
C. $\dfrac{x-6}{7}=\dfrac{y-1}{-4}=\dfrac{z+3}{-1}$.
D. $\dfrac{x-6}{7}=\dfrac{y-1}{4}=\dfrac{z+3}{-1}$.
A. $\dfrac{x+6}{7}=\dfrac{y+1}{4}=\dfrac{z-3}{-1}$.
B. $\dfrac{x+6}{7}=\dfrac{y+1}{-4}=\dfrac{z-3}{-1}$.
C. $\dfrac{x-6}{7}=\dfrac{y-1}{-4}=\dfrac{z+3}{-1}$.
D. $\dfrac{x-6}{7}=\dfrac{y-1}{4}=\dfrac{z+3}{-1}$.
Ta có $N\in d\Rightarrow N\left( -2+2t;1+t;1-t \right)$.
$I$ là trung điểm của $MN$ $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
{{x}_{M}}=2{{x}_{I}}-{{x}_{N}}=4-2t \\
{{y}_{M}}=2{{y}_{I}}-{{y}_{N}}=5-t \\
{{z}_{M}}=z{{x}_{I}}-{{z}_{N}}=3+t \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow M\left( 4-2t; 5-t; 3+t \right)$.
$M\in \left( P \right)\Leftrightarrow 2\left( 4-2t \right)-\left( 5-t \right)+\left( 3+t \right)-10=0\Leftrightarrow -2t-4=0\Leftrightarrow t=-2$.
Với $t=-2$ ta có $N\left( -6;-1;3 \right)$, $\overrightarrow{NI}=\left( 7;4;-1 \right)$. Đường thẳng $\Delta $ qua $N\left( -6;-1;3 \right)$ và nhận vectơ $\overrightarrow{NI}=\left( 7;4;-1 \right)$ làm vec tơ chỉ phương nên $\Delta $ có phương trình là $\dfrac{x+6}{7}=\dfrac{y+1}{4}=\dfrac{z-3}{-1}$.
$I$ là trung điểm của $MN$ $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
{{x}_{M}}=2{{x}_{I}}-{{x}_{N}}=4-2t \\
{{y}_{M}}=2{{y}_{I}}-{{y}_{N}}=5-t \\
{{z}_{M}}=z{{x}_{I}}-{{z}_{N}}=3+t \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow M\left( 4-2t; 5-t; 3+t \right)$.
$M\in \left( P \right)\Leftrightarrow 2\left( 4-2t \right)-\left( 5-t \right)+\left( 3+t \right)-10=0\Leftrightarrow -2t-4=0\Leftrightarrow t=-2$.
Với $t=-2$ ta có $N\left( -6;-1;3 \right)$, $\overrightarrow{NI}=\left( 7;4;-1 \right)$. Đường thẳng $\Delta $ qua $N\left( -6;-1;3 \right)$ và nhận vectơ $\overrightarrow{NI}=\left( 7;4;-1 \right)$ làm vec tơ chỉ phương nên $\Delta $ có phương trình là $\dfrac{x+6}{7}=\dfrac{y+1}{4}=\dfrac{z-3}{-1}$.
Đáp án A.