Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):x+y-z+2=0$ và hai điểm $A\left( 3 ; 4 ; 1 \right), B\left( 7 ; -4 ; -3 \right)$. Điểm $M\left( a ; b ; c \right)$ trên $\left( P \right)$ sao cho tam giác $ABM$ vuông tại $M$ và có diện tích nhỏ nhất. Khi $a>2$ thì biểu thức $T=a+b-c$ có giá trị bằng
A. $T=-1$.
B. $T=-2$.
C. $T=0$.
D. $T=3$.
A. $T=-1$.
B. $T=-2$.
C. $T=0$.
D. $T=3$.
+) Ta có ${{S}_{\Delta MAB}}=\dfrac{1}{2}d\left( M ; AB \right).AB$. ( $AB$ không đổi)
${{S}_{\Delta MAB}}$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow $ $d\left( M ; AB \right)$ là nhỏ nhất $\Rightarrow $ $M\in \Delta =\left( P \right)\cap \left( Q \right)$ với $\left( Q \right)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng $AB$ và vuông góc với $\left( P \right)$.
+) $\overrightarrow{AB}=\left( 4 ; -8 ; -4 \right)=4\left( 1 ; -2 ; -1 \right) = 4\overrightarrow{u}$ ; mp $\left( P \right)$ có vtpt $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left( 1 ; 1 ; -1 \right)$.
+) mp $\left( Q \right)$ đi qua điểm $A\left( 3 ; 4 ; 1 \right)$, có vtpt $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{{{n}_{P}}} \right]=\left( 3 ; 0 ; 3 \right)=3\left( 1 ; 0 ; 1 \right)$ có phương trình là: $x+z-4=0$.
+)$\Delta :\left\{ \begin{aligned}
& x+z-4=0 \\
& x+y-z+2=0 \\
\end{aligned} \right. \Rightarrow \Delta :\left\{ \begin{aligned}
& x=t \\
& y=2-2t \\
& z=4-t \\
\end{aligned} \right. \Rightarrow M\left( t ; 2-2t ; 4-t \right) $ (với $ t>2$)
+) $\overrightarrow{AM}=\left( t-3 ; -2t-2 ; -t+3 \right)$, $\overrightarrow{BM}=\left( t-7 ; -2t+6 ; -t+7 \right)$
$\Delta ABM$ vuông tại $M$ $\Rightarrow $ $\overrightarrow{AM} . \overrightarrow{BM} = 0\Leftrightarrow 6{{t}^{2}}-28t + 30 =0 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=\dfrac{5}{3} \left( l \right) \\
& t= 3 \left( tm \right) \\
\end{aligned} \right.$
Với $t= 3 $ $\Rightarrow $ $M\left( 3 ; -4 ; 1 \right)$. Vậy $T=a+b-c=-2$.
${{S}_{\Delta MAB}}$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow $ $d\left( M ; AB \right)$ là nhỏ nhất $\Rightarrow $ $M\in \Delta =\left( P \right)\cap \left( Q \right)$ với $\left( Q \right)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng $AB$ và vuông góc với $\left( P \right)$.
+) $\overrightarrow{AB}=\left( 4 ; -8 ; -4 \right)=4\left( 1 ; -2 ; -1 \right) = 4\overrightarrow{u}$ ; mp $\left( P \right)$ có vtpt $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left( 1 ; 1 ; -1 \right)$.
+) mp $\left( Q \right)$ đi qua điểm $A\left( 3 ; 4 ; 1 \right)$, có vtpt $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{{{n}_{P}}} \right]=\left( 3 ; 0 ; 3 \right)=3\left( 1 ; 0 ; 1 \right)$ có phương trình là: $x+z-4=0$.
+)$\Delta :\left\{ \begin{aligned}
& x+z-4=0 \\
& x+y-z+2=0 \\
\end{aligned} \right. \Rightarrow \Delta :\left\{ \begin{aligned}
& x=t \\
& y=2-2t \\
& z=4-t \\
\end{aligned} \right. \Rightarrow M\left( t ; 2-2t ; 4-t \right) $ (với $ t>2$)
+) $\overrightarrow{AM}=\left( t-3 ; -2t-2 ; -t+3 \right)$, $\overrightarrow{BM}=\left( t-7 ; -2t+6 ; -t+7 \right)$
$\Delta ABM$ vuông tại $M$ $\Rightarrow $ $\overrightarrow{AM} . \overrightarrow{BM} = 0\Leftrightarrow 6{{t}^{2}}-28t + 30 =0 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=\dfrac{5}{3} \left( l \right) \\
& t= 3 \left( tm \right) \\
\end{aligned} \right.$
Với $t= 3 $ $\Rightarrow $ $M\left( 3 ; -4 ; 1 \right)$. Vậy $T=a+b-c=-2$.
Đáp án B.