Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-2}{1}$, mặt phẳng $\left( P \right):2x-y+2z+8=0$ và $A\left( 1 ; -1 ; 2 \right)$. Đường thẳng $\Delta $ cắt $d$ và $\left( P \right)$ lần lượt tại $M$ và $N$ sao cho $A$ là trung điểm của đoạn thẳng $MN$. Phương trình đường thẳng $\Delta $ là
A. $\dfrac{x-1}{6}=\dfrac{y+1}{5}=\dfrac{z-2}{4}$.
B. $\dfrac{x-1}{6}=\dfrac{y-2}{5}=\dfrac{z-3}{4}$.
C. $\dfrac{x-1}{6}=\dfrac{y+1}{-5}=\dfrac{z-2}{4}$.
D. $\dfrac{x-7}{6}=\dfrac{y-4}{-5}=\dfrac{z-6}{-4}$.
Ta có $d:\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-2}{1}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=-1+2t \\
& y=t \\
& z=2+t \\
\end{aligned} \right. $. Do đó $ M\in d $ $ \Rightarrow M\left( -1+2t ; t ; 2+t \right)$.
Vì $A\left( 1 ; -1 ; 2 \right)$ là trung điểm $MN$ $\Rightarrow N\left( 3-2t ; -2-t ; 2-t \right)$.
Mặt khác $N\in \left( P \right)$ $\Rightarrow 2\left( 3-2t \right)+2+t+2\left( 2-t \right)+8=0$ $\Leftrightarrow t=4\Rightarrow M\left( 7 ; 4 ; 6 \right)$ $\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\left( 6 ; 5 ; 4 \right)$ là một vectơ chỉ phương của $\Delta $.
Vậy $\Delta $ đi qua $A\left( 1 ; -1 ; 2 \right)$ và nhận $\overrightarrow{AM}=\left( 6 ; 5 ; 4 \right)$ làm VTCP nên có phương trình: $\dfrac{x-1}{6}=\dfrac{y+1}{5}=\dfrac{z-2}{4}$.
A. $\dfrac{x-1}{6}=\dfrac{y+1}{5}=\dfrac{z-2}{4}$.
B. $\dfrac{x-1}{6}=\dfrac{y-2}{5}=\dfrac{z-3}{4}$.
C. $\dfrac{x-1}{6}=\dfrac{y+1}{-5}=\dfrac{z-2}{4}$.
D. $\dfrac{x-7}{6}=\dfrac{y-4}{-5}=\dfrac{z-6}{-4}$.
& x=-1+2t \\
& y=t \\
& z=2+t \\
\end{aligned} \right. $. Do đó $ M\in d $ $ \Rightarrow M\left( -1+2t ; t ; 2+t \right)$.
Vì $A\left( 1 ; -1 ; 2 \right)$ là trung điểm $MN$ $\Rightarrow N\left( 3-2t ; -2-t ; 2-t \right)$.
Mặt khác $N\in \left( P \right)$ $\Rightarrow 2\left( 3-2t \right)+2+t+2\left( 2-t \right)+8=0$ $\Leftrightarrow t=4\Rightarrow M\left( 7 ; 4 ; 6 \right)$ $\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\left( 6 ; 5 ; 4 \right)$ là một vectơ chỉ phương của $\Delta $.
Vậy $\Delta $ đi qua $A\left( 1 ; -1 ; 2 \right)$ và nhận $\overrightarrow{AM}=\left( 6 ; 5 ; 4 \right)$ làm VTCP nên có phương trình: $\dfrac{x-1}{6}=\dfrac{y+1}{5}=\dfrac{z-2}{4}$.
Đáp án A.