Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right)$ tâm $I\left( 1;-2;1 \right)$ ; bán kính $R=4$ và đường thẳng $d:\dfrac{x}{2}=\dfrac{y-1}{-2}=\dfrac{z+1}{-1}$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa $d$ và cắt mặt cầu $\left( S \right)$ theo một đường tròn có diện tích nhỏ nhất. Hỏi trong các điểm sau điểm nào có khoảng cách đến mặt phẳng $\left( P \right)$ lớn nhất.
A. $O\left( 0;0;0 \right)$.
B. $A\left( 1;\dfrac{3}{5};-\dfrac{1}{4} \right)$.
C. $B\left( -1;-2;-3 \right)$.
D. $C\left( 2;1;0 \right)$.
Ta có: $\overrightarrow{IH}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0\Rightarrow 2\left( 2t-1 \right)-2\left( 3-2t \right)-\left( -2-t \right)=0\Leftrightarrow t=\dfrac{2}{3}\Rightarrow H\left( \dfrac{4}{3};-\dfrac{1}{3};-\dfrac{5}{3} \right)$.
Vì $IH=\sqrt{10}<4=R\Rightarrow $ $d$ cắt mặt cầu $\left( S \right)$ tại $2$ điểm phân biệt.
Mặt phẳng $\left( Q \right)$ bất kì chứa $d$ luôn cắt $\left( S \right)$ theo một đường tròn bán kính $r$.
Khi đó ${{r}^{2}}={{R}^{2}}-{{d}^{2}}\left( I,\left( Q \right) \right)\ge {{R}^{2}}-{{d}^{2}}\left( I,d \right)=16-10=6$.
Do vậy mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa $d$ cắt mặt cầu theo một đường tròn có diện tích nhỏ nhất khi và chỉ khi $d\left( I,\left( P \right) \right)=d\left( I,d \right)$ hay mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $H$ nhận $\overrightarrow{IH}=\left( \dfrac{1}{3};\dfrac{5}{3};-\dfrac{8}{3} \right)$ làm vectơ pháp tuyến, do đó $\left( P \right)$ có phương trình $x+5y-8z-13=0$.
Khi đó điểm $O\left( 0;0;0 \right)$ có khoảng cách đến $\left( P \right)$ lớn nhất.
A. $O\left( 0;0;0 \right)$.
B. $A\left( 1;\dfrac{3}{5};-\dfrac{1}{4} \right)$.
C. $B\left( -1;-2;-3 \right)$.
D. $C\left( 2;1;0 \right)$.
Gọi $H\left( 2t;1-2t;-1-t \right)$ là hình chiếu của $I$ lên đường thẳng $d$.Ta có: $\overrightarrow{IH}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0\Rightarrow 2\left( 2t-1 \right)-2\left( 3-2t \right)-\left( -2-t \right)=0\Leftrightarrow t=\dfrac{2}{3}\Rightarrow H\left( \dfrac{4}{3};-\dfrac{1}{3};-\dfrac{5}{3} \right)$.
Vì $IH=\sqrt{10}<4=R\Rightarrow $ $d$ cắt mặt cầu $\left( S \right)$ tại $2$ điểm phân biệt.
Mặt phẳng $\left( Q \right)$ bất kì chứa $d$ luôn cắt $\left( S \right)$ theo một đường tròn bán kính $r$.
Khi đó ${{r}^{2}}={{R}^{2}}-{{d}^{2}}\left( I,\left( Q \right) \right)\ge {{R}^{2}}-{{d}^{2}}\left( I,d \right)=16-10=6$.
Do vậy mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa $d$ cắt mặt cầu theo một đường tròn có diện tích nhỏ nhất khi và chỉ khi $d\left( I,\left( P \right) \right)=d\left( I,d \right)$ hay mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $H$ nhận $\overrightarrow{IH}=\left( \dfrac{1}{3};\dfrac{5}{3};-\dfrac{8}{3} \right)$ làm vectơ pháp tuyến, do đó $\left( P \right)$ có phương trình $x+5y-8z-13=0$.
Khi đó điểm $O\left( 0;0;0 \right)$ có khoảng cách đến $\left( P \right)$ lớn nhất.
Đáp án A.
