Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+4y+2z-3=0$ và mặt phẳng $\left( P \right):2x-y+2z-14=0$. Điểm $M$ thay đổi trên $\left( S \right)$, đểm $N$ thay đổi trên $\left( P \right)$. Độ dài nhỏ nhất của $MN$ bằng
A. $\dfrac{1}{2}$.
B. $2$.
C. $1$.
D. $\dfrac{3}{2}$.
A. $\dfrac{1}{2}$.
B. $2$.
C. $1$.
D. $\dfrac{3}{2}$.
Mặt cầu có tâm $I\left( 1;-2;-1 \right)$, bán kính $R=3$ và $d\left( I,\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 2.1-\left( -2 \right)+2.\left( -1 \right)-14 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}}=4>R$
Do đó mắt cầu $\left( S \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ không có điểm chung, gọi $H$ là hình chiếu của $I$ lên mặt phẳng $\left( P \right)$ và $K$ là giao điểm của đoạn $IH$ với mặt cầu $\left( S \right)$
Ta có $MN\ge MK=d\left( I,\left( P \right) \right)-R=4-3=1$
Vây $\min MN=1$.
Do đó mắt cầu $\left( S \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ không có điểm chung, gọi $H$ là hình chiếu của $I$ lên mặt phẳng $\left( P \right)$ và $K$ là giao điểm của đoạn $IH$ với mặt cầu $\left( S \right)$
Ta có $MN\ge MK=d\left( I,\left( P \right) \right)-R=4-3=1$
Vây $\min MN=1$.
Đáp án C.
