Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( 2; 0; -1 \right)$, $B\left( 1; -2; 3 \right)$, $C\left( 0; 1; 2 \right)$. Tìm tọa độ điểm ${O}'$ là điểm đối xứng với gốc tọa độ $O$ qua mặt phẳng $\left( ABC \right)$.
A. ${O}'\left( 1; \dfrac{1}{2}; \dfrac{1}{2} \right)$.
B. ${O}'\left( 2; 1; 1 \right)$.
C. ${O}'\left( -10; -5; -5 \right)$.
D. ${O}'\left( 2; \dfrac{1}{2}; \dfrac{1}{2} \right)$.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ $O$ trên mặt phẳng $\left( ABC \right)$. Ta có tọa độ $H$ là $H\left( 1; \dfrac{1}{2}; \dfrac{1}{2} \right)$.
Do điểm ${O}'$ là điểm đối xứng với gốc tọa độ $O$ qua mặt phẳng $\left( ABC \right)$ nên $H$ là trung điểm của đoạn $O{O}'$. Vậy tọa độ điểm ${O}'$ là ${O}'\left( 2; 1; 1 \right)$.
A. ${O}'\left( 1; \dfrac{1}{2}; \dfrac{1}{2} \right)$.
B. ${O}'\left( 2; 1; 1 \right)$.
C. ${O}'\left( -10; -5; -5 \right)$.
D. ${O}'\left( 2; \dfrac{1}{2}; \dfrac{1}{2} \right)$.
Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( -1; -2; 4 \right)$, $\overrightarrow{AC}=\left( -2; 1; 3 \right)$ $\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]=\left( -10; -5; -5 \right)=-5\left( 2; 1; 1 \right)$. Khi đó mặt phẳng $\left( ABC \right)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}\left( 2; 1; 1 \right)$. Do đó phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là $2x+y+z-3=0$.Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ $O$ trên mặt phẳng $\left( ABC \right)$. Ta có tọa độ $H$ là $H\left( 1; \dfrac{1}{2}; \dfrac{1}{2} \right)$.
Do điểm ${O}'$ là điểm đối xứng với gốc tọa độ $O$ qua mặt phẳng $\left( ABC \right)$ nên $H$ là trung điểm của đoạn $O{O}'$. Vậy tọa độ điểm ${O}'$ là ${O}'\left( 2; 1; 1 \right)$.
Đáp án B.