Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( -1;2;1 \right)$ và đi qua điểm $A\left( 1;0;-1 \right)$. Xét các điểm $B, C, D$ thuộc $\left( S \right)$ sao cho $AB, AC, AD$ đôi một vuông góc với nhau. Thể tích của khối tứ diện $ABCD$ lớn nhất bằng
A. $\dfrac{64}{3}$.
B. $32$.
C. $64$.
D. $\dfrac{32}{3}$.
Đặt $AD=a, AB=b, AC=c$.
Khi đó, ${{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{6}AB.AC.AD=\dfrac{1}{6}abc$.
Ta có bán kính mặt cầu $\left( S \right)$ là $R=IA=2\sqrt{3}$.
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Khi đó, $AM=\dfrac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{2}$.
Vì tứ diện $ABCD$ nội tiếp trong mặt cầu $\left( S \right)$ nên ta có $IM\parallel AD$ và $IM=\dfrac{1}{2}AD=\dfrac{1}{2}a$.
Xét tam giác $AIM$ vuông tại $M$, ta có
A. $\dfrac{64}{3}$.
B. $32$.
C. $64$.
D. $\dfrac{32}{3}$.
Khi đó, ${{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{6}AB.AC.AD=\dfrac{1}{6}abc$.
Ta có bán kính mặt cầu $\left( S \right)$ là $R=IA=2\sqrt{3}$.
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Khi đó, $AM=\dfrac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{2}$.
Vì tứ diện $ABCD$ nội tiếp trong mặt cầu $\left( S \right)$ nên ta có $IM\parallel AD$ và $IM=\dfrac{1}{2}AD=\dfrac{1}{2}a$.
Xét tam giác $AIM$ vuông tại $M$, ta có
$A{{I}^{2}}=A{{M}^{2}}+I{{M}^{2}}\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=48$
Suy ra $V_{ABCD}^{2}=\dfrac{1}{36}{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}\le \dfrac{1}{36}\dfrac{{{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}^{3}}}{27}=\dfrac{1024}{9}$ hay ${{V}_{ABCD}}\le \dfrac{32}{3}$.Đáp án D.
