Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( -2;1;2 \right)$ và đi qua điểm $A\left( 1;-2;-1 \right)$. Xét các điểm $B$, $C$, $D$ thuộc $\left( S \right)$ sao cho $AB$, $AC$, $AD$ đôi một vuông góc với nhau. Thể tích của khối tứ diện $ABCD$ có giá trị lớn nhất bằng
A. $72$.
B. $216$.
C. $108$.
D. $36$.
A. $72$.
B. $216$.
C. $108$.
D. $36$.
Đặt $AB=a$, $AC=b$, $AD=c$ thì $ABCD$ là tứ diện vuông đỉnh $A$, nội tiếp mặt cầu $\left( S \right)$.
Khi đó $ABCD$ là tứ diện đặt ở góc $A$ của hình hộp chữ nhật tương ứng có các cạnh $AB$, $AC$, $AD$ và đường chéo $A{A}'$ là đường kính của cầu. Ta có ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=4{{R}^{2}}$.
Xét $V={{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{6}abc\Leftrightarrow {{V}^{2}}=\dfrac{1}{36}{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}$.
Mà ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge 3\sqrt[3]{{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}}$ $\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{3} \right)}^{3}}\ge {{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}$ $\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{4{{R}^{2}}}{3} \right)}^{3}}\ge 36.{{V}^{2}}$ $\Leftrightarrow V\le {{R}^{3}}.\dfrac{4\sqrt{3}}{27}$
Với $R=IA=3\sqrt{3}$. Vậy ${{V}_{\max }}=36$.
Khi đó $ABCD$ là tứ diện đặt ở góc $A$ của hình hộp chữ nhật tương ứng có các cạnh $AB$, $AC$, $AD$ và đường chéo $A{A}'$ là đường kính của cầu. Ta có ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=4{{R}^{2}}$.
Xét $V={{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{6}abc\Leftrightarrow {{V}^{2}}=\dfrac{1}{36}{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}$.
Mà ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge 3\sqrt[3]{{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}}$ $\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{3} \right)}^{3}}\ge {{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}$ $\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{4{{R}^{2}}}{3} \right)}^{3}}\ge 36.{{V}^{2}}$ $\Leftrightarrow V\le {{R}^{3}}.\dfrac{4\sqrt{3}}{27}$
Với $R=IA=3\sqrt{3}$. Vậy ${{V}_{\max }}=36$.
Đáp án D.