Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, xét mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 5;6;12 \right)$ và bán kính $R$ thay đổi. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $R$ sao cho ứng với mỗi giá trị đó, tồn tại hai tiếp tuyến của $\left( S \right)$ trong mặt phẳng $\left( Oyz \right)$ mà hai tiếp tuyến đó cùng đi qua $O$ và góc giữa chúng không nhỏ hơn $60{}^\circ $ ?
A. $9$.
B. $4$.
C. $2$.
D. $6$.
A. $9$.
B. $4$.
C. $2$.
D. $6$.
Gọi $J$ là hình chiếu của $I$ lên mặt phẳng $\left( Oyz \right)$ ta có $J\left( 0;6;12 \right)$ và $IJ=5$ ; $OJ=6\sqrt{5}$.
Đường tròn giao tuyến của $\left( S \right)$ với $\left( Oyz \right)$ là $\left( C \right)$ có tâm $J$ và có bán kính $r$ tính theo công thức ${{r}^{2}}+25={{R}^{2}}$.
Xét hai tiếp tuyến đi qua $O$ và tiếp xúc với $\left( C \right)$ tại $K,H$ như hình vẽ.
Từ đề bài ta có $60{}^\circ \le \widehat{KOH}\le 120{}^\circ \Leftrightarrow 30{}^\circ \le \widehat{JOH}\le 60{}^\circ $
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\le \sin \widehat{JOH}\le \dfrac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow \dfrac{1}{4}\le \dfrac{{{r}^{2}}}{O{{J}^{2}}}\le \dfrac{3}{4}\Leftrightarrow \dfrac{1}{4}\le \dfrac{{{R}^{2}}-25}{180}\le \dfrac{3}{4}$
$\Leftrightarrow 70\le {{R}^{2}}\le 160\Leftrightarrow \sqrt{70}\le R\le 4\sqrt{10}$.
Do $R\in \mathbb{Z}\Rightarrow R\in \left\{ 9;10;11;12 \right\}$.
Vậy có $4$ giá trị nguyên của $R$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đường tròn giao tuyến của $\left( S \right)$ với $\left( Oyz \right)$ là $\left( C \right)$ có tâm $J$ và có bán kính $r$ tính theo công thức ${{r}^{2}}+25={{R}^{2}}$.
Xét hai tiếp tuyến đi qua $O$ và tiếp xúc với $\left( C \right)$ tại $K,H$ như hình vẽ.
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\le \sin \widehat{JOH}\le \dfrac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow \dfrac{1}{4}\le \dfrac{{{r}^{2}}}{O{{J}^{2}}}\le \dfrac{3}{4}\Leftrightarrow \dfrac{1}{4}\le \dfrac{{{R}^{2}}-25}{180}\le \dfrac{3}{4}$
$\Leftrightarrow 70\le {{R}^{2}}\le 160\Leftrightarrow \sqrt{70}\le R\le 4\sqrt{10}$.
Do $R\in \mathbb{Z}\Rightarrow R\in \left\{ 9;10;11;12 \right\}$.
Vậy có $4$ giá trị nguyên của $R$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án B.