Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, xét mặt cầu $(S)$ có tâm $I(3 ; 5 ; 12)$ và bán kính $R$ thay đổi. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $R$ sao cho ứng với mỗi giá trị đó, tồn tại hai tiếp tuyến của $(S)$ trong mặt phẳng $(O y z)$ mà hai tiếp tuyến đó cùng đi qua $O$ và góc giữa chúng không nhỏ hơn $60^{\circ}$ ?
A. $4$.
B. $2$.
C. $10$.
D. $6$.
A. $4$.
B. $2$.
C. $10$.
D. $6$.
Cách 1.
TH1: Mặt cầu $(S)$ tiếp xúc với mặt phẳng $(O y z)$ tại $O\Rightarrow R=OI=\sqrt{178}\notin \mathbb{Z}$ (loại)
TH2: Mặt cầu (S) cắt $(Oyz)$ theo giao tuyến là một đường tròn (C) có bán kính là $r$.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên mặt phẳng $(Oyz)$ ta có $H\left( 0;5;12 \right)\Rightarrow $ $O{{H}^{2}}=169$.
Ta có ${{r}^{2}}={{R}^{2}}-9$.
Mặt khác, $A{{B}^{2}}=4A{{K}^{2}}=4\cdot {{\left( \dfrac{OA\cdot r}{OH} \right)}^{2}}=\dfrac{4O{{A}^{2}}\cdot {{r}^{2}}}{169}\Rightarrow \dfrac{A{{B}^{2}}}{O{{A}^{2}}}=\dfrac{4{{r}^{2}}}{169}=\dfrac{4\left( {{R}^{2}}-9 \right)}{169}$
Từ đó suy ra: $\cos \widehat{AOB}=\dfrac{O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}{2OA.OB}=\dfrac{2O{{A}^{2}}-A{{B}^{2}}}{2O{{A}^{2}}}=1-\dfrac{A{{B}^{2}}}{2O{{A}^{2}}}=\dfrac{187-2{{R}^{2}}}{169}$
Góc giữa hai đường thẳng $\left( OA,OB \right)\in \left[ {{60}^{{}^\circ }};{{90}^{{}^\circ }} \right]$
$\Leftrightarrow {{60}^{{}^\circ }}\le \widehat{AOB}\le {{120}^{{}^\circ }}\Leftrightarrow -\dfrac{1}{2}\dfrac{187-2{{R}^{2}}}{169}\le \dfrac{1}{2}\Leftrightarrow -\dfrac{169}{2}\le 187-2{{R}^{2}}\le \dfrac{169}{2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{205}{4}\le {{R}^{2}}\le \dfrac{543}{4}\Rightarrow R\in \{8;9;10;11\}$.
Cách 2. Để tồn tại tiếp tuyến thì mặt cầu $\left( S \right)$ phải cắt hoặc tiếp xúc mặt phẳng $\left( Oyz \right)$ nên $R\ge 3$.
Gọi $J$ là hình chiếu của $I$ lên mặt phẳng $\left( Oyz \right)$ ta có $J\left( 0;5;12 \right)$ và $IJ=3$ và $OJ=13$.
Xét 2 tiếp tuyến đi qua $O$ và tiếp xúc với $\left( C \right)$ tại $K,H$ như hình vẽ.
Từ đề bài ta có $OJ.\sin {{60}^{0}}\ge r\ge OJ.\sin {{30}^{0}}\Leftrightarrow \dfrac{13}{2}\le r\le \dfrac{13\sqrt{3}}{2}$, với $r=JK=JH$.
Mà $d\left( I , \left( Oyz \right) \right)=IJ=3$ nên:
$\dfrac{169}{4}+{{d}^{2}}\left( I , \left( Oyz \right) \right)\le {{r}^{2}}+{{d}^{2}}\left( I , \left( Oyz \right) \right)<\dfrac{507}{4}+{{d}^{2}}\left( I , \left( Oyz \right) \right)$
$\Leftrightarrow \dfrac{169}{4}+9\le {{R}^{2}}\le \dfrac{507}{4}+9\Leftrightarrow \dfrac{205}{4}\le {{R}^{2}}\le \dfrac{543}{4}$
$\Leftrightarrow \sqrt{\dfrac{205}{4}}\le R\le \sqrt{\dfrac{543}{4}}$, do $R\in \mathbb{Z}\Rightarrow R\in \left\{ 8;9;10;11 \right\}$.
Vậy, có $4$ giá trị nguyên thỏa yêu cầu
TH2: Mặt cầu (S) cắt $(Oyz)$ theo giao tuyến là một đường tròn (C) có bán kính là $r$.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên mặt phẳng $(Oyz)$ ta có $H\left( 0;5;12 \right)\Rightarrow $ $O{{H}^{2}}=169$.
Ta có ${{r}^{2}}={{R}^{2}}-9$.
Mặt khác, $A{{B}^{2}}=4A{{K}^{2}}=4\cdot {{\left( \dfrac{OA\cdot r}{OH} \right)}^{2}}=\dfrac{4O{{A}^{2}}\cdot {{r}^{2}}}{169}\Rightarrow \dfrac{A{{B}^{2}}}{O{{A}^{2}}}=\dfrac{4{{r}^{2}}}{169}=\dfrac{4\left( {{R}^{2}}-9 \right)}{169}$
Từ đó suy ra: $\cos \widehat{AOB}=\dfrac{O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}{2OA.OB}=\dfrac{2O{{A}^{2}}-A{{B}^{2}}}{2O{{A}^{2}}}=1-\dfrac{A{{B}^{2}}}{2O{{A}^{2}}}=\dfrac{187-2{{R}^{2}}}{169}$
Góc giữa hai đường thẳng $\left( OA,OB \right)\in \left[ {{60}^{{}^\circ }};{{90}^{{}^\circ }} \right]$
$\Leftrightarrow {{60}^{{}^\circ }}\le \widehat{AOB}\le {{120}^{{}^\circ }}\Leftrightarrow -\dfrac{1}{2}\dfrac{187-2{{R}^{2}}}{169}\le \dfrac{1}{2}\Leftrightarrow -\dfrac{169}{2}\le 187-2{{R}^{2}}\le \dfrac{169}{2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{205}{4}\le {{R}^{2}}\le \dfrac{543}{4}\Rightarrow R\in \{8;9;10;11\}$.
Cách 2. Để tồn tại tiếp tuyến thì mặt cầu $\left( S \right)$ phải cắt hoặc tiếp xúc mặt phẳng $\left( Oyz \right)$ nên $R\ge 3$.
Gọi $J$ là hình chiếu của $I$ lên mặt phẳng $\left( Oyz \right)$ ta có $J\left( 0;5;12 \right)$ và $IJ=3$ và $OJ=13$.
Xét 2 tiếp tuyến đi qua $O$ và tiếp xúc với $\left( C \right)$ tại $K,H$ như hình vẽ.
Mà $d\left( I , \left( Oyz \right) \right)=IJ=3$ nên:
$\dfrac{169}{4}+{{d}^{2}}\left( I , \left( Oyz \right) \right)\le {{r}^{2}}+{{d}^{2}}\left( I , \left( Oyz \right) \right)<\dfrac{507}{4}+{{d}^{2}}\left( I , \left( Oyz \right) \right)$
$\Leftrightarrow \dfrac{169}{4}+9\le {{R}^{2}}\le \dfrac{507}{4}+9\Leftrightarrow \dfrac{205}{4}\le {{R}^{2}}\le \dfrac{543}{4}$
$\Leftrightarrow \sqrt{\dfrac{205}{4}}\le R\le \sqrt{\dfrac{543}{4}}$, do $R\in \mathbb{Z}\Rightarrow R\in \left\{ 8;9;10;11 \right\}$.
Vậy, có $4$ giá trị nguyên thỏa yêu cầu
Đáp án A.