Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=4$, $\left( {{S}'} \right):{{\left( x-8 \right)}^{2}}+{{\left( y-8 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=64$ và điểm $D\left( 0;0;-8 \right)$. $DM$ là tiếp tuyến thay đổi của mặt cầu $\left( {{S}'} \right)$ ( $M$ là tiếp điểm). $A$, $B$, $C$ là các điểm phân biệt thay đổi trên mặt cầu $\left( S \right)$ sao cho $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{CO}=0$. Khi phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right)$ có dạng $ax+2y+cz+d=0$ thì khoảng cách từ $N\left( 0;0;1 \right)$ đến $\left( ABC \right)$ đạt giá trị lớn nhất. Tổng $a+2c+d$ bằng
A. $-3$.
B. $5$.
C. $-1$.
D. $0$.
A. $-3$.
B. $5$.
C. $-1$.
D. $0$.
Ta có $\left( {{S}'} \right):\left\{ \begin{matrix}
{I}'\left( 8;8;0 \right) \\
R=8 \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow {I}'D=8\sqrt{3}\Rightarrow MD=8\sqrt{2}$.
Khi đó $M$ thuộc đường tròn giao tuyến của mặt cầu tâm $\left( {{S}''} \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z+8 \right)}^{2}}=128$ và $\left( {{S}'} \right):{{\left( x-8 \right)}^{2}}+{{\left( y-8 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=64$. Khi đó $M\left( x;y;z \right)$ với $\left\{ \begin{matrix}
{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z+8 \right)}^{2}}=128 \\
x+y+z-8=0 \\
\end{matrix} \right.$.
Do $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{CO}=0$ nên $A$, $B$, $C$ thuộc mặt cầu đường kính $MO$.
Gọi $E\left( m;n;p \right)$ là trung điểm của $MO$, khi đó $\left\{ \begin{matrix}
{{m}^{2}}+{{n}^{2}}+{{\left( p+4 \right)}^{2}}=32 \\
m+n+p-4=0 \\
\end{matrix} \right.$.
Khi đó $A$, $B$, $C$ thuộc mặt cầu ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2mx-2ny-2pz=0$.
$\Rightarrow \left( ABC \right):mx+ny+pz-2=0$ do $A$, $B$, $C$ là các điểm phân biệt thay đổi trên mặt cầu $\left( S \right)$.
Ta có $d\left( N,\left( ABC \right) \right)=\dfrac{\left| p-2 \right|}{\sqrt{{{m}^{2}}+{{n}^{2}}+{{p}^{2}}}}=\dfrac{\left| p-2 \right|}{\sqrt{32-{{\left( p+4 \right)}^{2}}+{{p}^{2}}}}=\dfrac{\left| p-2 \right|}{\sqrt{-8p+16}}=\sqrt{\dfrac{2-p}{8}}$.
$M\left( x;y;z \right)$ với $\left\{ \begin{matrix}
{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z+8 \right)}^{2}}=128 \\
{{\left( x-8 \right)}^{2}}+{{\left( y-8 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=64 \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
-8\sqrt{2}-8\le z\le 8\sqrt{2}-8 \\
-8\le z\le 8 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow -8\le z\le 8\sqrt{2}-8$.
Mà $E\left( m;n;p \right)$ là trung điểm của $MO$ nên $4-4\sqrt{2}\le -p\le 4$ $\Rightarrow d\left( N,\left( ABC \right) \right)\le \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Đẳng thức xảy ra khi $p=-4$ và $\left\{ \begin{matrix}
{{m}^{2}}+{{n}^{2}}=32 \\
m+n=8 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m=4 \\
n=4 \\
\end{matrix} \right.$.
$\Rightarrow \left( ABC \right):2x+2y-2z-1=0$ $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
a=2 \\
c=-2 \\
d=-1 \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow a+2c+d=-3$.
{I}'\left( 8;8;0 \right) \\
R=8 \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow {I}'D=8\sqrt{3}\Rightarrow MD=8\sqrt{2}$.
Khi đó $M$ thuộc đường tròn giao tuyến của mặt cầu tâm $\left( {{S}''} \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z+8 \right)}^{2}}=128$ và $\left( {{S}'} \right):{{\left( x-8 \right)}^{2}}+{{\left( y-8 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=64$. Khi đó $M\left( x;y;z \right)$ với $\left\{ \begin{matrix}
{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z+8 \right)}^{2}}=128 \\
x+y+z-8=0 \\
\end{matrix} \right.$.
Do $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{CO}=0$ nên $A$, $B$, $C$ thuộc mặt cầu đường kính $MO$.
Gọi $E\left( m;n;p \right)$ là trung điểm của $MO$, khi đó $\left\{ \begin{matrix}
{{m}^{2}}+{{n}^{2}}+{{\left( p+4 \right)}^{2}}=32 \\
m+n+p-4=0 \\
\end{matrix} \right.$.
Khi đó $A$, $B$, $C$ thuộc mặt cầu ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2mx-2ny-2pz=0$.
$\Rightarrow \left( ABC \right):mx+ny+pz-2=0$ do $A$, $B$, $C$ là các điểm phân biệt thay đổi trên mặt cầu $\left( S \right)$.
Ta có $d\left( N,\left( ABC \right) \right)=\dfrac{\left| p-2 \right|}{\sqrt{{{m}^{2}}+{{n}^{2}}+{{p}^{2}}}}=\dfrac{\left| p-2 \right|}{\sqrt{32-{{\left( p+4 \right)}^{2}}+{{p}^{2}}}}=\dfrac{\left| p-2 \right|}{\sqrt{-8p+16}}=\sqrt{\dfrac{2-p}{8}}$.
$M\left( x;y;z \right)$ với $\left\{ \begin{matrix}
{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z+8 \right)}^{2}}=128 \\
{{\left( x-8 \right)}^{2}}+{{\left( y-8 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=64 \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
-8\sqrt{2}-8\le z\le 8\sqrt{2}-8 \\
-8\le z\le 8 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow -8\le z\le 8\sqrt{2}-8$.
Mà $E\left( m;n;p \right)$ là trung điểm của $MO$ nên $4-4\sqrt{2}\le -p\le 4$ $\Rightarrow d\left( N,\left( ABC \right) \right)\le \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Đẳng thức xảy ra khi $p=-4$ và $\left\{ \begin{matrix}
{{m}^{2}}+{{n}^{2}}=32 \\
m+n=8 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m=4 \\
n=4 \\
\end{matrix} \right.$.
$\Rightarrow \left( ABC \right):2x+2y-2z-1=0$ $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
a=2 \\
c=-2 \\
d=-1 \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow a+2c+d=-3$.
Đáp án A.
