Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+5 \right)}^{2}}=12$ và điểm $A\left( 0;1;-3 \right)$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $A$, cắt $\left( S \right)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất có phương trình là $ax+by+cz+14=0$, $\left( a,b,c\in \mathbb{Z} \right)$. Giá trị của biểu thức $M=a-b+c$ bằng
A. $4$.
B. $2$.
C. $8$.
D. $7$.
A. $4$.
B. $2$.
C. $8$.
D. $7$.
$\left( S \right):{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+5 \right)}^{2}}=12$ có tâm $I\left( -1;2;-5 \right)$ và bán kính $R=2\sqrt{3}$.
Ta có $\overrightarrow{IA}=\left( 1;-1;2 \right)\Rightarrow IA=\sqrt{6}$.
Do $IA<R$ nên mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $A$, cắt $\left( S \right)$ theo giao tuyến là đường tròn có bản kính nhỏ nhất khi và chỉ khi $A$ là hình chiếu của $M$ trên $\left( P \right)$ hay $\left( P \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 1;-1;2 \right)$
$\Rightarrow \left( P \right):x-y+2z+7=0\Leftrightarrow \left( P \right):2x-2y+4z+14=0$ $\Rightarrow a-b+c=8$.
Ta có $\overrightarrow{IA}=\left( 1;-1;2 \right)\Rightarrow IA=\sqrt{6}$.
Do $IA<R$ nên mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $A$, cắt $\left( S \right)$ theo giao tuyến là đường tròn có bản kính nhỏ nhất khi và chỉ khi $A$ là hình chiếu của $M$ trên $\left( P \right)$ hay $\left( P \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 1;-1;2 \right)$
$\Rightarrow \left( P \right):x-y+2z+7=0\Leftrightarrow \left( P \right):2x-2y+4z+14=0$ $\Rightarrow a-b+c=8$.
Đáp án C.
