Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right)$ có tâm $I\left( 2 ; 1 ; 1 \right)$ có bán kính bằng $4$ và mặt cầu $\left( {{S}_{2}} \right)$ có tâm $J\left( 2 ; 1 ; 5 \right)$ có bán kính bằng $2$. $\left( P \right)$ là mặt phẳng thay đổi tiếp xúc với hai mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right)$, $\left( {{S}_{2}} \right)$. Đặt $M$, $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của khoảng cách từ điểm $O$ đến $\left( P \right)$. Giá trị $M+m$ bằng
A. $\sqrt{15}$.
B. $8\sqrt{3}$.
C. $9$.
D. $8$.
A. $\sqrt{15}$.
B. $8\sqrt{3}$.
C. $9$.
D. $8$.
Giả sử $\left( P \right)$ tiếp xúc với $\left( {{S}_{1}} \right)$, $\left( {{S}_{2}} \right)$ lần lượt tại $A$ và $B$.
Gọi $IJ\cap \left( P \right)=M$. Do $\dfrac{IA}{JB}=\dfrac{MI}{MJ}=2$ nên $J$ là trung điểm của $IM$. Suy ra $M\left( 2 ; 1 ; 9 \right)$.
Gọi $\vec{n}=\left( a ; b ; c \right)$ với ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ne 0$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$.
Ta có: $\left( P \right):a\left( x-2 \right)+b\left( y-1 \right)+c\left( z-9 \right)=0$.
Và: $\left\{ \begin{aligned}
& d\left( I , \left( P \right) \right)={{R}_{1}} \\
& d\left( J , \left( P \right) \right)={{R}_{2}} \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow \dfrac{\left| c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\dfrac{1}{2} $ $ \Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=3{{c}^{2}} $ $ \Leftrightarrow {{\left( \dfrac{a}{c} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{b}{c} \right)}^{2}}=3 $ $ \left( 1 \right)$.
Ta có: $d\left( O , \left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 2a+b+9c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\dfrac{\left| 2a+b+9c \right|}{2\left| c \right|}=\dfrac{1}{2}\left| \dfrac{2a}{c}+\dfrac{b}{c}+9 \right|$.
Đặt $t=\dfrac{2a}{c}+\dfrac{b}{c}$ $\Leftrightarrow \dfrac{b}{c}=t-\dfrac{2a}{c}$. Ta có: $d\left( O , \left( P \right) \right)=\dfrac{1}{2}\left| t+9 \right|$.
Thay $\dfrac{b}{c}=t-\dfrac{2a}{c}$ vào $\left( 1 \right)$, ta được ${{\left( \dfrac{a}{c} \right)}^{2}}+{{\left( t-\dfrac{2a}{c} \right)}^{2}}=3$ $\Leftrightarrow 5{{\left( \dfrac{a}{c} \right)}^{2}}-4. \dfrac{a}{c}. t+{{t}^{2}}-3=0$.
Để phương trình có nghiệm với ẩn $\dfrac{a}{c}$ thì $4{{t}^{2}}-5{{t}^{2}}+15\ge 0$ $\Leftrightarrow -\sqrt{15}\le t\le \sqrt{15}$
$\Leftrightarrow 0<9-\sqrt{15}\le t+9\le 9+\sqrt{15}$ $\Rightarrow \dfrac{9-\sqrt{15}}{2}\le d\left( O , \left( P \right) \right)\le \dfrac{9+\sqrt{15}}{2}$.
$\Rightarrow M=\dfrac{9+\sqrt{15}}{2}$ và $m=\dfrac{9-\sqrt{15}}{2}$. Vậy $M+m=9$.
Gọi $IJ\cap \left( P \right)=M$. Do $\dfrac{IA}{JB}=\dfrac{MI}{MJ}=2$ nên $J$ là trung điểm của $IM$. Suy ra $M\left( 2 ; 1 ; 9 \right)$.
Gọi $\vec{n}=\left( a ; b ; c \right)$ với ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ne 0$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$.
Ta có: $\left( P \right):a\left( x-2 \right)+b\left( y-1 \right)+c\left( z-9 \right)=0$.
Và: $\left\{ \begin{aligned}
& d\left( I , \left( P \right) \right)={{R}_{1}} \\
& d\left( J , \left( P \right) \right)={{R}_{2}} \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow \dfrac{\left| c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\dfrac{1}{2} $ $ \Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=3{{c}^{2}} $ $ \Leftrightarrow {{\left( \dfrac{a}{c} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{b}{c} \right)}^{2}}=3 $ $ \left( 1 \right)$.
Ta có: $d\left( O , \left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 2a+b+9c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\dfrac{\left| 2a+b+9c \right|}{2\left| c \right|}=\dfrac{1}{2}\left| \dfrac{2a}{c}+\dfrac{b}{c}+9 \right|$.
Đặt $t=\dfrac{2a}{c}+\dfrac{b}{c}$ $\Leftrightarrow \dfrac{b}{c}=t-\dfrac{2a}{c}$. Ta có: $d\left( O , \left( P \right) \right)=\dfrac{1}{2}\left| t+9 \right|$.
Thay $\dfrac{b}{c}=t-\dfrac{2a}{c}$ vào $\left( 1 \right)$, ta được ${{\left( \dfrac{a}{c} \right)}^{2}}+{{\left( t-\dfrac{2a}{c} \right)}^{2}}=3$ $\Leftrightarrow 5{{\left( \dfrac{a}{c} \right)}^{2}}-4. \dfrac{a}{c}. t+{{t}^{2}}-3=0$.
Để phương trình có nghiệm với ẩn $\dfrac{a}{c}$ thì $4{{t}^{2}}-5{{t}^{2}}+15\ge 0$ $\Leftrightarrow -\sqrt{15}\le t\le \sqrt{15}$
$\Leftrightarrow 0<9-\sqrt{15}\le t+9\le 9+\sqrt{15}$ $\Rightarrow \dfrac{9-\sqrt{15}}{2}\le d\left( O , \left( P \right) \right)\le \dfrac{9+\sqrt{15}}{2}$.
$\Rightarrow M=\dfrac{9+\sqrt{15}}{2}$ và $m=\dfrac{9-\sqrt{15}}{2}$. Vậy $M+m=9$.
Đáp án C.
