Google
Câu hỏi: Cho không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right)$ có tâm $I\left( 2 ;1 ;1 \right)$ có bán kính bằng 4 và mặt cầu $\left( {{S}_{2}} \right)$ có tâm $J\left( 2 ;1 ;5 \right)$ có bán kính bằng 2. $\left( P \right)$ là mặt phẳng thay đổi tiếp xúc với hai mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right), \left( {{S}_{2}} \right)$. Đặt $M, m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của khoảng cách từ điểm $O$ đến $\left( P \right)$. Giá trị $M+m$ bằng
A. $8\sqrt{3}$.
B. $9$.
C. $8$.
D. $\sqrt{15}$.
A. $8\sqrt{3}$.
B. $9$.
C. $8$.
D. $\sqrt{15}$.
Gọi $A, B$ lần lượt là tiếp điểm của $\left( P \right)$ với mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right), \left( {{S}_{2}} \right)$.
Gọi $M=IJ\cap \left( P \right)$. Ta có $\dfrac{IA}{JB}=\dfrac{MI}{MJ}=2$, nên $J$ là trung điểm của $IM$, suy ra $M\left( 2 ;1 ;9 \right)$.
Gọi $\overrightarrow{n}=\left( a ;b ;c \right) \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ne 0 \right)$, suy ra $\left( P \right):a\left( x-2 \right)+b\left( y-1 \right)+c\left( z-9 \right)=0$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& d\left( I,\left( P \right) \right)={{R}_{1}}=4 \\
& d\left( J,\left( P \right) \right)={{R}_{2}}=2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \dfrac{\left| c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=3{{c}^{2}}\Rightarrow {{\left( \dfrac{a}{c} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{b}{c} \right)}^{2}}=3$ (1)
Ta có $d\left( O,\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 2a+b+9c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\dfrac{\left| 2a+b+9c \right|}{2\left| c \right|}=\dfrac{1}{2}\left| \dfrac{2a}{c}+\dfrac{b}{c}+9 \right|$.
Đặt $t=\dfrac{2a}{c}+\dfrac{b}{c}\Rightarrow \dfrac{b}{c}=t-\dfrac{2a}{c}$, ta được $d\left( O,\left( P \right) \right)=\dfrac{1}{2}\left| t+9 \right|$.
Thay $\dfrac{b}{c}=t-\dfrac{2a}{c}$ vào (1) ta được ${{\left( \dfrac{a}{c} \right)}^{2}}+{{\left( t-\dfrac{2a}{c} \right)}^{2}}=3\Leftrightarrow 5{{\left( \dfrac{a}{c} \right)}^{2}}-4t\left( \dfrac{a}{c} \right)+{{t}^{2}}-3=0$.
Để phương trình có nghiệm thì $-{{t}^{2}}+15\ge 0\Leftrightarrow -\sqrt{15}\le t\le \sqrt{15}\Leftrightarrow 9-\sqrt{15}\le t+9\le 9+\sqrt{15}$.
Do đó $\dfrac{9-\sqrt{15}}{2}\le d\left( O,\left( P \right) \right)\le \dfrac{9+\sqrt{15}}{2}$, suy ra $M=\dfrac{9+\sqrt{15}}{2}, m=\dfrac{9-\sqrt{15}}{2}$.
Vậy $M+m=9$.
Gọi $M=IJ\cap \left( P \right)$. Ta có $\dfrac{IA}{JB}=\dfrac{MI}{MJ}=2$, nên $J$ là trung điểm của $IM$, suy ra $M\left( 2 ;1 ;9 \right)$.
Gọi $\overrightarrow{n}=\left( a ;b ;c \right) \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ne 0 \right)$, suy ra $\left( P \right):a\left( x-2 \right)+b\left( y-1 \right)+c\left( z-9 \right)=0$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& d\left( I,\left( P \right) \right)={{R}_{1}}=4 \\
& d\left( J,\left( P \right) \right)={{R}_{2}}=2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \dfrac{\left| c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=3{{c}^{2}}\Rightarrow {{\left( \dfrac{a}{c} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{b}{c} \right)}^{2}}=3$ (1)
Ta có $d\left( O,\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 2a+b+9c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\dfrac{\left| 2a+b+9c \right|}{2\left| c \right|}=\dfrac{1}{2}\left| \dfrac{2a}{c}+\dfrac{b}{c}+9 \right|$.
Đặt $t=\dfrac{2a}{c}+\dfrac{b}{c}\Rightarrow \dfrac{b}{c}=t-\dfrac{2a}{c}$, ta được $d\left( O,\left( P \right) \right)=\dfrac{1}{2}\left| t+9 \right|$.
Thay $\dfrac{b}{c}=t-\dfrac{2a}{c}$ vào (1) ta được ${{\left( \dfrac{a}{c} \right)}^{2}}+{{\left( t-\dfrac{2a}{c} \right)}^{2}}=3\Leftrightarrow 5{{\left( \dfrac{a}{c} \right)}^{2}}-4t\left( \dfrac{a}{c} \right)+{{t}^{2}}-3=0$.
Để phương trình có nghiệm thì $-{{t}^{2}}+15\ge 0\Leftrightarrow -\sqrt{15}\le t\le \sqrt{15}\Leftrightarrow 9-\sqrt{15}\le t+9\le 9+\sqrt{15}$.
Do đó $\dfrac{9-\sqrt{15}}{2}\le d\left( O,\left( P \right) \right)\le \dfrac{9+\sqrt{15}}{2}$, suy ra $M=\dfrac{9+\sqrt{15}}{2}, m=\dfrac{9-\sqrt{15}}{2}$.
Vậy $M+m=9$.
Đáp án B.