Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=25$ và đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{4}=\dfrac{y+3}{-2}=\dfrac{z-1}{1}$. Có bao nhiêu điểm $M$ thuộc trục tung, với tung độ là số nguyên, mà từ $M$ kẻ được đến $\left( S \right)$ hai tiếp tuyến cùng vuông góc với $d$ ?
A. 18.
B. 19.
C. 16.
D. 30.
A. 18.
B. 19.
C. 16.
D. 30.
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 2;-3;3 \right),R=5$.
Ta có: $M\in Oy\Rightarrow M\left( 0; a; 0 \right)$
Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng chứa hai tiếp tuyến từ $M$ đến $\left( S \right)$. Khi đó $\left( P \right)$ đi qua $M\left( 0; a; 0 \right)$, vuông góc với đường thẳng $d$, phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là:
$$ $4x-2\left( y-a \right)+z=0\Leftrightarrow 4x-2y+z+2a=0$.
Ta có điểm $M$ thoả mãn giả thiết là điểm nằm ngoài mặt cầu, suy ra
$IM>R\Leftrightarrow {{\left( -2 \right)}^{2}}+{{\left( a+3 \right)}^{2}}+9>25\Leftrightarrow {{\left( a+3 \right)}^{2}}>12$ (1)
Các mặt phẳng $\left( P \right)$ thoả mãn giả thiết phải cắt mặt cầu nên ta có: $d\left( I,\left( P \right) \right)<R\Leftrightarrow \frac{\left| 8+6+3+2a \right|}{\sqrt{21}}<5\Leftrightarrow \left| 2a+17 \right|<5\sqrt{21}$ (2)
Ta có: $M\in Oy\Rightarrow M\left( 0; a; 0 \right)$
Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng chứa hai tiếp tuyến từ $M$ đến $\left( S \right)$. Khi đó $\left( P \right)$ đi qua $M\left( 0; a; 0 \right)$, vuông góc với đường thẳng $d$, phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là:
$$ $4x-2\left( y-a \right)+z=0\Leftrightarrow 4x-2y+z+2a=0$.
Ta có điểm $M$ thoả mãn giả thiết là điểm nằm ngoài mặt cầu, suy ra
$IM>R\Leftrightarrow {{\left( -2 \right)}^{2}}+{{\left( a+3 \right)}^{2}}+9>25\Leftrightarrow {{\left( a+3 \right)}^{2}}>12$ (1)
Các mặt phẳng $\left( P \right)$ thoả mãn giả thiết phải cắt mặt cầu nên ta có: $d\left( I,\left( P \right) \right)<R\Leftrightarrow \frac{\left| 8+6+3+2a \right|}{\sqrt{21}}<5\Leftrightarrow \left| 2a+17 \right|<5\sqrt{21}$ (2)
Đáp án B.
