Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz,~$ cho hai điểm $S\left( 7;8;6 \right)$ và $P\left( -5;~-4;0 \right).$ Xét khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$ nội tiếp trong mặt cầu đường kính $SP.$ Khi khối chóp $S.ABCD$ có thể tích lớn nhất thì mặt phẳng $ABCD$ có phương trình $2x+by+cz+d=0.$ Giá trị $b+c+d$ bằng
A. $3$.
B. $5$.
C. $-3$.
D. $-5$.
Mặt cầu đường kính $SP$ có tâm $I(1;2;3)$ và bán kính $R=9$.
Xét hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $H$, cạnh $a$ $\left( 0<a\le 9\sqrt{2} \right)$.
Ta chỉ cần xét trường hợp $SH>SI.$
Ta có
$HA=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow HI=\sqrt{I{{A}^{2}}-H{{A}^{2}}}=\sqrt{81-\dfrac{{{a}^{2}}}{2}}$
Mặt khác ta lại có $SH=SI+IH$ $=9+\sqrt{81-\dfrac{{{a}^{2}}}{2}}$.
Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ là $V=\dfrac{1}{3}{{a}^{2}}\left( 9+\sqrt{81-\dfrac{{{a}^{2}}}{2}} \right)$ $=3{{a}^{2}}+\dfrac{1}{3}{{a}^{2}}\sqrt{81-\dfrac{{{a}^{2}}}{2}}$.
Đặt ${{a}^{2}}=t$, do $0<a\le 9\sqrt{2}$ nên $0<t\le 162$.
Xét hàm số $f\left( t \right)=3t+\dfrac{1}{3}t\left( \sqrt{81-\dfrac{t}{2}} \right)$, với $0<t\le 162$.
Ta có ${f}'\left( t \right)=3+\dfrac{324-3t}{12\sqrt{81-\dfrac{t}{2}}}$.
Suy ra: ${f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow 3+\dfrac{324-3t}{12\sqrt{81-\dfrac{t}{2}}}=0\Leftrightarrow 36\sqrt{81-\dfrac{t}{2}}=3t-324$
$\Leftrightarrow \sqrt{81-\dfrac{t}{2}}=\dfrac{t}{12}-9$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t\ge 108 \\
& 81-\dfrac{t}{2}={{\left( \dfrac{t}{12}-9 \right)}^{2}} \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t\ge 108 \\
& \left[ \begin{aligned}
& t=0 \\
& t=144 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow t=144$.
Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có ${{V}_{\max }}=576$ khi $t=144$ hay $a=12$.
Khi đó $HI=\sqrt{81-\dfrac{{{a}^{2}}}{2}}=3$ $\Rightarrow \overrightarrow{SH}=\dfrac{4}{3}\overrightarrow{SI}$.
Do $S\left( 7;8;6 \right)$ và $I\left( 1;2;3 \right)$ nên $\overrightarrow{SI}=\left( -6;-6;-3 \right)$ suy ra $H\left( -1;0;2 \right).$
Mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ qua $H\left( -1;0;2 \right)$ và nhận $\vec{n}=\left( 2;2;1 \right)$ là véctơ pháp tuyến nên có phương trình: $2x+2y+z=0$. Vậy $b+c+d=3.$
A. $3$.
B. $5$.
C. $-3$.
D. $-5$.
Xét hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $H$, cạnh $a$ $\left( 0<a\le 9\sqrt{2} \right)$.
Ta chỉ cần xét trường hợp $SH>SI.$
Ta có
$HA=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow HI=\sqrt{I{{A}^{2}}-H{{A}^{2}}}=\sqrt{81-\dfrac{{{a}^{2}}}{2}}$
Mặt khác ta lại có $SH=SI+IH$ $=9+\sqrt{81-\dfrac{{{a}^{2}}}{2}}$.
Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ là $V=\dfrac{1}{3}{{a}^{2}}\left( 9+\sqrt{81-\dfrac{{{a}^{2}}}{2}} \right)$ $=3{{a}^{2}}+\dfrac{1}{3}{{a}^{2}}\sqrt{81-\dfrac{{{a}^{2}}}{2}}$.
Đặt ${{a}^{2}}=t$, do $0<a\le 9\sqrt{2}$ nên $0<t\le 162$.
Xét hàm số $f\left( t \right)=3t+\dfrac{1}{3}t\left( \sqrt{81-\dfrac{t}{2}} \right)$, với $0<t\le 162$.
Ta có ${f}'\left( t \right)=3+\dfrac{324-3t}{12\sqrt{81-\dfrac{t}{2}}}$.
Suy ra: ${f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow 3+\dfrac{324-3t}{12\sqrt{81-\dfrac{t}{2}}}=0\Leftrightarrow 36\sqrt{81-\dfrac{t}{2}}=3t-324$
$\Leftrightarrow \sqrt{81-\dfrac{t}{2}}=\dfrac{t}{12}-9$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t\ge 108 \\
& 81-\dfrac{t}{2}={{\left( \dfrac{t}{12}-9 \right)}^{2}} \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t\ge 108 \\
& \left[ \begin{aligned}
& t=0 \\
& t=144 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow t=144$.
Ta có bảng biến thiên
Khi đó $HI=\sqrt{81-\dfrac{{{a}^{2}}}{2}}=3$ $\Rightarrow \overrightarrow{SH}=\dfrac{4}{3}\overrightarrow{SI}$.
Do $S\left( 7;8;6 \right)$ và $I\left( 1;2;3 \right)$ nên $\overrightarrow{SI}=\left( -6;-6;-3 \right)$ suy ra $H\left( -1;0;2 \right).$
Mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ qua $H\left( -1;0;2 \right)$ và nhận $\vec{n}=\left( 2;2;1 \right)$ là véctơ pháp tuyến nên có phương trình: $2x+2y+z=0$. Vậy $b+c+d=3.$
Đáp án A.
