Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( 3;3;1 \right)...

Mọi điểm trên $d$ cách đều hai điểm $A,B$ nên $d$ nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn $AB$.
Có $\overrightarrow{AB}=\left( -3;-1;0 \right)$ và trung điểm $AB$ là $I\left( \dfrac{3}{2};\dfrac{5}{2};1 \right)$ nên mặt phẳng trung trực $\left( \beta \right)$ của $AB$ là:
$-3\left( x-\dfrac{3}{2} \right)-\left( y-\dfrac{5}{2} \right)=0\Leftrightarrow 3x+y-7=0$.
Mặt khác $d\subset \left( \alpha \right)$ nên $d$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( \alpha \right)$, $\left( \beta \right)$.
$\left\{ \begin{aligned}
& 3x+y-7=0 \\
& x+y+z-7=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& y=7-3x \\
& z=2x \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy phương trình $d:\left\{ \begin{aligned}
& x=t \\
& y=7-3t \\
& z=2t \\
\end{aligned} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right)$.