Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y}{-2}=\dfrac{z+1}{1}$ và hai điểm $A\left( 2;0;3 \right),B\left( 4;2;1 \right)$ Điểm $M$ trên $d$ sao cho độ dài của vectơ $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}$ nhỏ nhất. Tọa độ của điểm $M$ là
A. $\left( \dfrac{5}{2};-1;-\dfrac{1}{2} \right)$.
B. $\left( -2;2;-2 \right)$.
C. $\left( 4;-2;0 \right)$.
D. $\left( -\dfrac{1}{2};1;-\dfrac{3}{2} \right)$.
A. $\left( \dfrac{5}{2};-1;-\dfrac{1}{2} \right)$.
B. $\left( -2;2;-2 \right)$.
C. $\left( 4;-2;0 \right)$.
D. $\left( -\dfrac{1}{2};1;-\dfrac{3}{2} \right)$.
Do $M\in d$ nên $M\left( 1+3t;-2t;-1+t \right)\Rightarrow \overrightarrow{MA}=\left( 1-3t;2t;4-t \right),\overrightarrow{MB}=\left( 3-3t;2+2t;2-t \right)$.
Nên: $\overrightarrow{u}=\left( 4-6t;2+4t;6-2t \right)\Rightarrow \left| \overrightarrow{u} \right|=\sqrt{{{\left( 4-6t \right)}^{2}}+{{\left( 2+4t \right)}^{2}}+{{\left( 6-2t \right)}^{2}}}=\sqrt{56{{t}^{2}}-56t+56}$
Mà: $\sqrt{56{{t}^{2}}-56t+56}=2\sqrt{14}.\sqrt{{{\left( t-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{3}{4}}\ge \sqrt{42}$
Dấu $''=''$ xảy ra khi: $t=\dfrac{1}{2}\Rightarrow M\left( \dfrac{5}{2};-1;-\dfrac{1}{2} \right)$.
Nên: $\overrightarrow{u}=\left( 4-6t;2+4t;6-2t \right)\Rightarrow \left| \overrightarrow{u} \right|=\sqrt{{{\left( 4-6t \right)}^{2}}+{{\left( 2+4t \right)}^{2}}+{{\left( 6-2t \right)}^{2}}}=\sqrt{56{{t}^{2}}-56t+56}$
Mà: $\sqrt{56{{t}^{2}}-56t+56}=2\sqrt{14}.\sqrt{{{\left( t-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{3}{4}}\ge \sqrt{42}$
Dấu $''=''$ xảy ra khi: $t=\dfrac{1}{2}\Rightarrow M\left( \dfrac{5}{2};-1;-\dfrac{1}{2} \right)$.
Đáp án A.