Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta :\dfrac{x-1}{-1}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z+1}{1}$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right):x+2y-2z-1=0$. Biết mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa $\Delta $ và tạo với $\left( \alpha \right)$ một góc nhỏ nhất có phương trình dạng $7x+by+cz+d=0$. Giá trị $b+c+d$ là
A. $-3$.
B. $-23$.
C. $3$.
D. $-5$.
A. $-3$.
B. $-23$.
C. $3$.
D. $-5$.
$\Delta $ đi qua $A\left( 1;0;-1 \right)$ và có VTCP $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}\left( -1;2;1 \right)$
Vì $\Delta \subset \left( P \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& A\left( 1;0;-1 \right)\in \left( P \right) \\
& \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}\bot \overrightarrow{{{n}_{P}}}\left( 7;b;c \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 7-c+d=0 \\
& -7+2b+c=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 7-c+d=0 \\
& c=7-2b \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó $\cos \left( \left( P \right),\left( \alpha \right) \right)=\dfrac{\left| 6b-7 \right|}{\sqrt{5{{b}^{2}}-28b+98}}=g\left( b \right)$
$g{{\left( b \right)}_{\min }}\Leftrightarrow b=10\Rightarrow c=-13\Rightarrow d=-20\Rightarrow b+c+d=-23$.
Vì $\Delta \subset \left( P \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& A\left( 1;0;-1 \right)\in \left( P \right) \\
& \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}\bot \overrightarrow{{{n}_{P}}}\left( 7;b;c \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 7-c+d=0 \\
& -7+2b+c=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 7-c+d=0 \\
& c=7-2b \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó $\cos \left( \left( P \right),\left( \alpha \right) \right)=\dfrac{\left| 6b-7 \right|}{\sqrt{5{{b}^{2}}-28b+98}}=g\left( b \right)$
$g{{\left( b \right)}_{\min }}\Leftrightarrow b=10\Rightarrow c=-13\Rightarrow d=-20\Rightarrow b+c+d=-23$.
Đáp án B.