Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz,$ cho đường thẳng $\Delta : \dfrac{x}{2}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z-1}{-1}$. Hai điểm $N,M$ thay đổi, lần lượt nằm trên các mặt phẳng $\left( P \right): x-2=0$, $\left( Q \right): z-2=0$ sao cho trung điểm $K$ của đoạn thẳng $MN$ luôn thuộc đường thẳng $\Delta $. Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng $MN$ thuộc khoảng nào dưới đây?
A. $\left( 2;3 \right).$
B. $\left( 1;2 \right).$
C. $\left( 4;5 \right).$
D. $\left( 3;4 \right).$
A. $\left( 2;3 \right).$
B. $\left( 1;2 \right).$
C. $\left( 4;5 \right).$
D. $\left( 3;4 \right).$
Gọi $M\left( 2; a; b \right)\in \left( P \right)$, $K\left( 2t; 1-t; 1-t \right)\in \Delta $.
$K$ là trung điểm của $MN$ nên $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{N}}=2.2t-2=4t-2 \\
& {{y}_{N}}=2.\left( 1-t \right)-a=2-2t-a \\
& {{z}_{N}}=2.\left( 1-t \right)-b=2-2t-b \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow N\left( 4t-2; 2-2t-a; 2-2t-b \right)$.
$N\in \left( Q \right)$ nên $-2t-b=0\Leftrightarrow 2t=-b\Rightarrow M\left( 2; a; b \right), N\left( -2b-2; 2+b-a; 2 \right)$.
Ta có $M{{N}^{2}}={{\left( 4+2b \right)}^{2}}+{{\left( 2a-b-2 \right)}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}}=4{{a}^{2}}-4ab-8a+6{{b}^{2}}+16b+24$
$={{\left( 2a-b-2 \right)}^{2}}+5{{\left( b+\dfrac{6}{5} \right)}^{2}}+\dfrac{64}{5}\ge \dfrac{64}{5}\Rightarrow MN\ge \dfrac{8}{\sqrt{5}}\approx 3,5777...$.
Dấu bằng xảy ra khi $\left\{ \begin{aligned}
& 2a-b-2=0 \\
& b+\dfrac{6}{5}=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{2}{5} \\
& b=-\dfrac{6}{5} \\
\end{aligned} \right.$.
$K$ là trung điểm của $MN$ nên $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{N}}=2.2t-2=4t-2 \\
& {{y}_{N}}=2.\left( 1-t \right)-a=2-2t-a \\
& {{z}_{N}}=2.\left( 1-t \right)-b=2-2t-b \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow N\left( 4t-2; 2-2t-a; 2-2t-b \right)$.
$N\in \left( Q \right)$ nên $-2t-b=0\Leftrightarrow 2t=-b\Rightarrow M\left( 2; a; b \right), N\left( -2b-2; 2+b-a; 2 \right)$.
Ta có $M{{N}^{2}}={{\left( 4+2b \right)}^{2}}+{{\left( 2a-b-2 \right)}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}}=4{{a}^{2}}-4ab-8a+6{{b}^{2}}+16b+24$
$={{\left( 2a-b-2 \right)}^{2}}+5{{\left( b+\dfrac{6}{5} \right)}^{2}}+\dfrac{64}{5}\ge \dfrac{64}{5}\Rightarrow MN\ge \dfrac{8}{\sqrt{5}}\approx 3,5777...$.
Dấu bằng xảy ra khi $\left\{ \begin{aligned}
& 2a-b-2=0 \\
& b+\dfrac{6}{5}=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{2}{5} \\
& b=-\dfrac{6}{5} \\
\end{aligned} \right.$.
Đáp án D.