Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta :\dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{-1}=\dfrac{z}{-3}$ và mặt phẳng $\left( P \right):2x-z+1=0$. Mặt phẳng $\left( \alpha \right):ax+5y+bz+c=0$ chứa $\Delta $ và tạo với mặt phẳng $\left( P \right)$ một góc $45{}^\circ $. Khi đó $a+b+c$ bằng
A. $a+b+c=4$.
B. $a+b+c=13$.
C. $a+b+c=12$.
D. $a+b+c=9$.
A. $a+b+c=4$.
B. $a+b+c=13$.
C. $a+b+c=12$.
D. $a+b+c=9$.
Ta thấy $\Delta $ chứa $O$ và có véc-tơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left( 1;-1;-3 \right)$.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ có véc-tơ pháp tuyến là ${{\overrightarrow{n}}_{P}}=\left( 2;0;-1 \right)$.
Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có véc-tơ pháp tuyến là ${{\overrightarrow{n}}_{\alpha }}=\left( a;5;b \right)$.
Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chứa $\Delta $ suy ra $c=0$ và $\overrightarrow{u}\cdot {{\overrightarrow{n}}_{\alpha }}=0\Leftrightarrow a=5+3b$.(1)
Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ tạo với mặt phẳng $\left( P \right)$ một góc $45{}^\circ $ suy ra
$\cos 45{}^\circ =\dfrac{\left| {{\overrightarrow{n}}_{\alpha }}\cdot {{\overrightarrow{n}}_{P}} \right|}{\left| {{\overrightarrow{n}}_{\alpha }} \right|\cdot \left| {{\overrightarrow{n}}_{P}} \right|}\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\left| 2a-b \right|}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+25}}\Leftrightarrow 5\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+25 \right)=2{{\left( 2a-b \right)}^{2}}$.(2)
Từ (1) và (2) suy ra $b=1\Rightarrow a=8$.
Vậy $a+b+c=9$.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ có véc-tơ pháp tuyến là ${{\overrightarrow{n}}_{P}}=\left( 2;0;-1 \right)$.
Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có véc-tơ pháp tuyến là ${{\overrightarrow{n}}_{\alpha }}=\left( a;5;b \right)$.
Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chứa $\Delta $ suy ra $c=0$ và $\overrightarrow{u}\cdot {{\overrightarrow{n}}_{\alpha }}=0\Leftrightarrow a=5+3b$.(1)
Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ tạo với mặt phẳng $\left( P \right)$ một góc $45{}^\circ $ suy ra
$\cos 45{}^\circ =\dfrac{\left| {{\overrightarrow{n}}_{\alpha }}\cdot {{\overrightarrow{n}}_{P}} \right|}{\left| {{\overrightarrow{n}}_{\alpha }} \right|\cdot \left| {{\overrightarrow{n}}_{P}} \right|}\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\left| 2a-b \right|}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+25}}\Leftrightarrow 5\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+25 \right)=2{{\left( 2a-b \right)}^{2}}$.(2)
Từ (1) và (2) suy ra $b=1\Rightarrow a=8$.
Vậy $a+b+c=9$.
Đáp án D.
