Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=1 \\
& y=t \\
\end{aligned} \right. $ và mặt phẳng $ \left( P \right):2x-z+3=0 $. Biết đường thẳng $ \Delta $ đi qua $ O\left( 0;0;0 \right) $, có một vectơ chỉ phương $ \overrightarrow{u}=\left( 1;a;b \right) $, vuông góc với đường thẳng $ d $ và hợp với mặt phẳng $ \left( P \right) $ một góc lớn nhất. Hỏi điểm nào sau đây thuộc đường thẳng $ \Delta $
A. $M\left( 2;0;-2 \right)$.
B. $Q\left( 1;2;2 \right)$.
C. $P\left( 0;1;0 \right)$.
D. $N\left( -1;1;1 \right)$.
& x=1+t \\
& y=1 \\
& y=t \\
\end{aligned} \right. $ và mặt phẳng $ \left( P \right):2x-z+3=0 $. Biết đường thẳng $ \Delta $ đi qua $ O\left( 0;0;0 \right) $, có một vectơ chỉ phương $ \overrightarrow{u}=\left( 1;a;b \right) $, vuông góc với đường thẳng $ d $ và hợp với mặt phẳng $ \left( P \right) $ một góc lớn nhất. Hỏi điểm nào sau đây thuộc đường thẳng $ \Delta $
A. $M\left( 2;0;-2 \right)$.
B. $Q\left( 1;2;2 \right)$.
C. $P\left( 0;1;0 \right)$.
D. $N\left( -1;1;1 \right)$.
Gọi $\left( \widehat{\Delta \text{,}\left( P \right)} \right)=\alpha $.
Ta có $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 1;0;1 \right)$ và $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left( 2;0;-1 \right)$.
Vì đường thẳng $\Delta $ vuông góc với đường thẳng $d$ nên $\overrightarrow{{{u}_{d}}}\cdot \overrightarrow{u}=0\Leftrightarrow 1+b=0\Leftrightarrow b=-1$.
Mặt khác $\sin \alpha =\dfrac{\left| \overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{{{n}_{P}}} \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|\left| \overrightarrow{{{n}_{P}}} \right|}=\dfrac{3}{\sqrt{{{a}^{2}}+2}\cdot \sqrt{5}}$ suy ra ${{\alpha }_{\max }}\Leftrightarrow a=0$.
Do đó vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta $ là $\overrightarrow{u}=\left( 1;0;-1 \right)$.
Suy ra đường thẳng $\Delta $ đi qua $O\left( 0;0;0 \right)$ có phương trình $\Delta :\left\{ \begin{aligned}
& x=t \\
& y=0 \\
& y=-t. \\
\end{aligned} \right.$
Vậy $M\left( 2;0;-2 \right)\in \Delta $.
Ta có $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 1;0;1 \right)$ và $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left( 2;0;-1 \right)$.
Vì đường thẳng $\Delta $ vuông góc với đường thẳng $d$ nên $\overrightarrow{{{u}_{d}}}\cdot \overrightarrow{u}=0\Leftrightarrow 1+b=0\Leftrightarrow b=-1$.
Mặt khác $\sin \alpha =\dfrac{\left| \overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{{{n}_{P}}} \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|\left| \overrightarrow{{{n}_{P}}} \right|}=\dfrac{3}{\sqrt{{{a}^{2}}+2}\cdot \sqrt{5}}$ suy ra ${{\alpha }_{\max }}\Leftrightarrow a=0$.
Do đó vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta $ là $\overrightarrow{u}=\left( 1;0;-1 \right)$.
Suy ra đường thẳng $\Delta $ đi qua $O\left( 0;0;0 \right)$ có phương trình $\Delta :\left\{ \begin{aligned}
& x=t \\
& y=0 \\
& y=-t. \\
\end{aligned} \right.$
Vậy $M\left( 2;0;-2 \right)\in \Delta $.
Đáp án A.