Google
Câu hỏi: Trong không gian $O x y z$, xét mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua điểm $A(2 ; 1 ; 3)$ đồng thời cắt các tia $O x, O y$, $O z$ lần lượt tại $M, N, P$ sao cho tứ diện $O M N P$ có thể tích nhỏ nhất. Giao điểm của đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=2+t \\ y=1-t \text { với mặt phẳng }(\alpha) \text { có tọa độ là } \\ z=4+t\end{array}\right.$
A. $(4 ;-1 ; 6)$.
B. $(4 ; 6 ; 1)$.
C. $(-4 ; 6 ;-1)$.
D. $(4 ; 1 ; 6)$.
A. $(4 ;-1 ; 6)$.
B. $(4 ; 6 ; 1)$.
C. $(-4 ; 6 ;-1)$.
D. $(4 ; 1 ; 6)$.
Vì $M, N, P$ là̀n lượt thuộc các tia $O x, O y, O z$ nên $M(m ; 0 ; 0), N(0 ; n ; 0), P(0 ; 0 ; p)$ với $m, n, p \geq 0$.
Dễ thấy $(\alpha)$ không thể đi qua $O(0 ; 0 ; 0)$ vì khi đó $M \equiv N \equiv P$. Suy ra $m, n, p>0$.
Ta có $O M=m, O N=n, O P=p$ suy ra thể tích tứ diện $O M N P$ là $V_{O M N P}=\dfrac{1}{6} O M . O N . O P=$ $\dfrac{1}{6} m n p$
Ta lại có phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $M, N, P$ là: $\dfrac{x}{m}+\dfrac{y}{n}+\dfrac{z}{p}=1$.
Vì $(\alpha)$ đi qua $A(2 ; 1 ; 3)$ nên ta có $\dfrac{2}{m}+\dfrac{1}{n}+\dfrac{3}{p}=1(1)$
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có $\dfrac{2}{m}+\dfrac{1}{n}+\dfrac{3}{p} \geq 3 \sqrt[3]{\dfrac{6}{m n p}}(2)$
Từ (1) và (2) ta được $1 \geq 3 \sqrt[3]{\dfrac{6}{m n p}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{6} m n p \geq 27 \Leftrightarrow V_{O M N P} \geq 27$.
Suy ra $V_{O M N P}$ nhỏ nhất bằng 27 khi và chỉ khi $\dfrac{2}{m}=\dfrac{1}{n}=\dfrac{3}{p}=\dfrac{1}{3} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}m=6 \\ n=3 \\ p=9\end{array}\right.$.
Do đó $(\alpha)$ có phương trình là: $\dfrac{x}{6}+\dfrac{y}{3}+\dfrac{z}{9}=1 \Leftrightarrow 3 x+6 y+2 z-18=0$.
Gọi $I=d \cap(\alpha)$. Vì $I \in d$ nên $I(2+t ; 1-t ; 4+t)$.
Vì $I \in(\alpha)$ nên $3(2+t)+6(1-t)+2(4+t)-18=0 \Leftrightarrow 2-t=0 \Leftrightarrow t=2$. Suy ra $I(4 ;-1 ; 6)$.
Dễ thấy $(\alpha)$ không thể đi qua $O(0 ; 0 ; 0)$ vì khi đó $M \equiv N \equiv P$. Suy ra $m, n, p>0$.
Ta có $O M=m, O N=n, O P=p$ suy ra thể tích tứ diện $O M N P$ là $V_{O M N P}=\dfrac{1}{6} O M . O N . O P=$ $\dfrac{1}{6} m n p$
Ta lại có phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $M, N, P$ là: $\dfrac{x}{m}+\dfrac{y}{n}+\dfrac{z}{p}=1$.
Vì $(\alpha)$ đi qua $A(2 ; 1 ; 3)$ nên ta có $\dfrac{2}{m}+\dfrac{1}{n}+\dfrac{3}{p}=1(1)$
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có $\dfrac{2}{m}+\dfrac{1}{n}+\dfrac{3}{p} \geq 3 \sqrt[3]{\dfrac{6}{m n p}}(2)$
Từ (1) và (2) ta được $1 \geq 3 \sqrt[3]{\dfrac{6}{m n p}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{6} m n p \geq 27 \Leftrightarrow V_{O M N P} \geq 27$.
Suy ra $V_{O M N P}$ nhỏ nhất bằng 27 khi và chỉ khi $\dfrac{2}{m}=\dfrac{1}{n}=\dfrac{3}{p}=\dfrac{1}{3} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}m=6 \\ n=3 \\ p=9\end{array}\right.$.
Do đó $(\alpha)$ có phương trình là: $\dfrac{x}{6}+\dfrac{y}{3}+\dfrac{z}{9}=1 \Leftrightarrow 3 x+6 y+2 z-18=0$.
Gọi $I=d \cap(\alpha)$. Vì $I \in d$ nên $I(2+t ; 1-t ; 4+t)$.
Vì $I \in(\alpha)$ nên $3(2+t)+6(1-t)+2(4+t)-18=0 \Leftrightarrow 2-t=0 \Leftrightarrow t=2$. Suy ra $I(4 ;-1 ; 6)$.
Đáp án A.
