Google
Câu hỏi: Trong không gian $O x y z$, cho điểm $M(1 ; 1 ; 2)$. Mặt phẳng $(P)$ qua $M$ cắt các tia $O x, O y, O z$ lần lượt tại $A, B, C$ sao cho thể tích tứ diện $O A B C$ nhỏ nhất. Gọi $\vec{n}=(1 ; a ; b)$ là một véc tơ pháp tuyến của $(P)$. Tính $S=a^3-2 b$.
A. $S=-\dfrac{15}{8}$.
B. $S=0$.
C. $S=-3$.
D. $S=6$.
A. $S=-\dfrac{15}{8}$.
B. $S=0$.
C. $S=-3$.
D. $S=6$.
Mặt phẳng $(P)$ cắt các tia $O x, O y, O z$ lần lượt tại $A, B, C$ nên $A(a ; 0 ; 0), B(0 ; b ; 0), C(0 ; 0 ; c)$ $(a, b, c>0)$.
Phương trình mặt phẳng $(P): \dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$.
+ Mặt phẳng $(P)$ qua $M$ nên $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{c}=1$.
Ta có $1=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{c} \geq 3 \sqrt[3]{\dfrac{2}{a b c}} \Leftrightarrow a b c \geq 54$
+ Thể tích khối tứ diện $O A B C: V=\dfrac{1}{6} a b c \geq 9$.
Thể tích khối tứ diện $O A B C$ nhỏ nhất khi $\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{b}=\dfrac{2}{c}=\dfrac{1}{3}$ suy ra $a=3, b=3, c=6$.
Phương trình mặt phẳng $(P): \dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{3}+\dfrac{z}{6}=1$ hay $x+y+\dfrac{1}{2} z-3=0 \Rightarrow a=1, b=\dfrac{1}{2}$.
Vậy $S=0$.
Phương trình mặt phẳng $(P): \dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$.
+ Mặt phẳng $(P)$ qua $M$ nên $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{c}=1$.
Ta có $1=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{c} \geq 3 \sqrt[3]{\dfrac{2}{a b c}} \Leftrightarrow a b c \geq 54$
+ Thể tích khối tứ diện $O A B C: V=\dfrac{1}{6} a b c \geq 9$.
Thể tích khối tứ diện $O A B C$ nhỏ nhất khi $\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{b}=\dfrac{2}{c}=\dfrac{1}{3}$ suy ra $a=3, b=3, c=6$.
Phương trình mặt phẳng $(P): \dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{3}+\dfrac{z}{6}=1$ hay $x+y+\dfrac{1}{2} z-3=0 \Rightarrow a=1, b=\dfrac{1}{2}$.
Vậy $S=0$.
Đáp án B.
