Google
Câu hỏi: Trong không gian hệ tọa độ $O x y z$, cho các điểm $A(a ; 0 ; 0), B(0 ; b ; 0), C(0 ; 0 ; c)$ với $a \geq 4, b \geq 5$, $c \geq 6$ và mặt cầu $(S)$ có bán kính bằng $\dfrac{3 \sqrt{10}}{2}$ ngoại tiếp tứ diện $O \cdot A B C$. Khi tổng $O A+O B+O C$ đạt giá trị nhỏ nhất thì mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua tâm $I$ của mặt cầu $(S)$ và song song với mặt phẳng $(O A B)$ có dạng $m x+n y+p z+q=0$ (với $m, n, p, q \in \mathbb{Z} ; \dfrac{q}{p}$ là phân số tối giản). Giá trị $T=m+n+$ $p+q$ bằng
A. -5 .
B. 9 .
C. 5 .
D. 3 .
A. -5 .
B. 9 .
C. 5 .
D. 3 .
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $O \cdot A B C$ là $R=\dfrac{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}{2}=\dfrac{3 \sqrt{10}}{2} \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=90$.
Ta có $P=O A+O B+O C=a+b+c$. Đặt $x=a-4 \geq 0, y=b-5 \geq 0, z=c-6 \geq 0$.
Khi đó $a^2+b^2+c^2=(x+4)^2+(y+5)^2+(z+6)^2=x^2+y^2+z^2+8 x+10 y+12 z+$
$77=90$
$\Rightarrow x^2+y^2+z^2+8 x+10 y+12 z=13$
$T=(x+y+z)^2+12(x+y+z)=x^2+y^2+z^2+8 x+10 y+12 z+2(x y+y z+z x+$
$2 x+y)$
Vì $x^2+y^2+z^2+8 x+10 y+12 z=13$ và $x, y, z \geq 0$ nên $(x+y+z)^2+12(x+y+z)-$ $13 \geq 0$.
$\Leftrightarrow x+y+z \geq 1 \Leftrightarrow a-4+b-5+c-7 \geq 1 \Leftrightarrow a+b+c \geq 16 \Rightarrow\{O A+O B+O C\}_{\mathrm{min}}=$ 16.
Dấu "= " xảy ra khi và chỉ khi $a=4, b=5, c=7$.
Suy ra, $A(4 ; 0 ; 0), B(0 ; 5 ; 0), C(0 ; 0 ; 7)$.
Gọi mặt cầu $(S): x^2+y^2+z^2-2 a x-2 b y-2 c z+d=0$
Vì $A(4 ; 0 ; 0), B(0 ; 5 ; 0), C(0 ; 0 ; 7), O(0 ; 0 ; 0)$ nên ta có hệ
$
\left\{\begin{array} { l }
{ 1 6 - 8 a + d = 0 } \\
{ 2 5 - 1 0 b + d = 0 } \\
{ 4 7 - 1 4 z + d = 0 } \\
{ d = 0 }
\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
a=2 \\
b=\dfrac{5}{2} \\
c=\dfrac{7}{2} \\
d=0
\end{array}\right.\right.
$
Tâm của mặt cầu $(S)$ là $I\left(2 ; \dfrac{5}{2} ; \dfrac{7}{2}\right)$.
Mặt phẳng $(\alpha)$ song song với mặt phẳng $(O A B) \equiv(O x y): z=0 \Rightarrow(\alpha): z+e=0$.
Vì $I\left(2 ; \dfrac{5}{2} ; \dfrac{7}{2}\right)$ thuộc $(\alpha)$ nên $\dfrac{7}{2}+e=0 \Leftrightarrow e=-\dfrac{7}{2}$
Suy ra, $2 z-7=0 \Rightarrow m=0 ; n=0 ; p=2 ; q=-7$.
$T=m+n+p+q=-5$
Ta có $P=O A+O B+O C=a+b+c$. Đặt $x=a-4 \geq 0, y=b-5 \geq 0, z=c-6 \geq 0$.
Khi đó $a^2+b^2+c^2=(x+4)^2+(y+5)^2+(z+6)^2=x^2+y^2+z^2+8 x+10 y+12 z+$
$77=90$
$\Rightarrow x^2+y^2+z^2+8 x+10 y+12 z=13$
$T=(x+y+z)^2+12(x+y+z)=x^2+y^2+z^2+8 x+10 y+12 z+2(x y+y z+z x+$
$2 x+y)$
Vì $x^2+y^2+z^2+8 x+10 y+12 z=13$ và $x, y, z \geq 0$ nên $(x+y+z)^2+12(x+y+z)-$ $13 \geq 0$.
$\Leftrightarrow x+y+z \geq 1 \Leftrightarrow a-4+b-5+c-7 \geq 1 \Leftrightarrow a+b+c \geq 16 \Rightarrow\{O A+O B+O C\}_{\mathrm{min}}=$ 16.
Dấu "= " xảy ra khi và chỉ khi $a=4, b=5, c=7$.
Suy ra, $A(4 ; 0 ; 0), B(0 ; 5 ; 0), C(0 ; 0 ; 7)$.
Gọi mặt cầu $(S): x^2+y^2+z^2-2 a x-2 b y-2 c z+d=0$
Vì $A(4 ; 0 ; 0), B(0 ; 5 ; 0), C(0 ; 0 ; 7), O(0 ; 0 ; 0)$ nên ta có hệ
$
\left\{\begin{array} { l }
{ 1 6 - 8 a + d = 0 } \\
{ 2 5 - 1 0 b + d = 0 } \\
{ 4 7 - 1 4 z + d = 0 } \\
{ d = 0 }
\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
a=2 \\
b=\dfrac{5}{2} \\
c=\dfrac{7}{2} \\
d=0
\end{array}\right.\right.
$
Tâm của mặt cầu $(S)$ là $I\left(2 ; \dfrac{5}{2} ; \dfrac{7}{2}\right)$.
Mặt phẳng $(\alpha)$ song song với mặt phẳng $(O A B) \equiv(O x y): z=0 \Rightarrow(\alpha): z+e=0$.
Vì $I\left(2 ; \dfrac{5}{2} ; \dfrac{7}{2}\right)$ thuộc $(\alpha)$ nên $\dfrac{7}{2}+e=0 \Leftrightarrow e=-\dfrac{7}{2}$
Suy ra, $2 z-7=0 \Rightarrow m=0 ; n=0 ; p=2 ; q=-7$.
$T=m+n+p+q=-5$
Đáp án A.