Google
Câu hỏi: Trong không gian $O x y z$, cho mặt phẳng $(P): z=0$ và hai điểm $A(2 ;-1 ; 0), B(4 ; 3 ;-2)$. Gọi $M(a ; b ; c) \in(P)$ sao cho $M A=M B$ và góc $\widehat{A M B}$ có số đo lớn nhất. Khi đó đẳng thức nào sau đây đúng?
A. $a+2 b=-6$.
B. $a+b=0$.
C. $a+b=\dfrac{23}{5}$.
D. $c>0$.
A. $a+2 b=-6$.
B. $a+b=0$.
C. $a+b=\dfrac{23}{5}$.
D. $c>0$.
Vì $M A=M B$ nên $M$ thuộc mặt phẳng trung trực $(Q)$ của đoạn thẳng $A B$.
Ta có $(Q)$ đi qua trung điểm $I(3 ; 1 ;-1)$ của $A B$ và có véctơ pháp tuyến là $\overrightarrow{A B}=(2 ; 4 ;-2)$ nên $(Q)$ có phương trình là
$
2(x-3)+4(y-1)-2(z+1)=0 \Leftrightarrow x+2 y-z-6=0 \text {. }
$
Vì $M \in(P)$ và $M \in(Q)$ nên $M$ thuộc giao tuyến $\Delta$ của $(P)$ và $(Q)$.
$(P)$ có véctơ pháp tuyến $\vec{n}_{(P)}=(0 ; 0 ; 1),(Q)$ có véctơ pháp tuyến $\vec{n}_{(Q)}=(1 ; 2 ;-1)$. Khi đó $\Delta$ có véctơ chỉ phương $\vec{u}=\left[\vec{n}_{(P)}, \vec{n}_{(Q)}\right]=(-2 ; 1 ; 0)$.
Chọn $N(2 ; 2 ; 0)$ là một điểm chung của $(P)$ và $(Q)$. $\Delta$ đi qua $N$ nên có phương trình $\left\{\begin{array}{l}x=2-2 t \\ y=2+t \\ z=0\end{array} \quad(t \in\right.$ $\mathbb{R})$.
Vì $M \in \Delta$ nên $M=(2-2 t ; 2+t ; 0)$. Theo định lý cosin trong tam giác $M A B$, ta có $\cos \widehat{A M B}=\dfrac{M A^2+M B^2-A B^2}{2 M A \cdot M B}=\dfrac{2 M A^2-A B^2}{2 M A^2}=1-\dfrac{A B^2}{2 M A^2}$.
Vì $A B$ không đổi nên từ biểu thức trên ta có $\widehat{A M B}$ lớn nhất $\Leftrightarrow \cos \widehat{A M B}$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow M A^2$ nhỏ nhât. Ta có $M A^2=(2 t)^2+(t+3)^2=5 t^2+6 t+9=5\left(t+\dfrac{3}{5}\right)^2+\dfrac{36}{5} \geq \dfrac{36}{5}$ Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow t=-\dfrac{3}{5}$, khi đó $M\left(\dfrac{16}{5} ; \dfrac{7}{5} ; 0\right)$.
Vậy $a+b=\dfrac{23}{5}$.
Ta có $(Q)$ đi qua trung điểm $I(3 ; 1 ;-1)$ của $A B$ và có véctơ pháp tuyến là $\overrightarrow{A B}=(2 ; 4 ;-2)$ nên $(Q)$ có phương trình là
$
2(x-3)+4(y-1)-2(z+1)=0 \Leftrightarrow x+2 y-z-6=0 \text {. }
$
Vì $M \in(P)$ và $M \in(Q)$ nên $M$ thuộc giao tuyến $\Delta$ của $(P)$ và $(Q)$.
$(P)$ có véctơ pháp tuyến $\vec{n}_{(P)}=(0 ; 0 ; 1),(Q)$ có véctơ pháp tuyến $\vec{n}_{(Q)}=(1 ; 2 ;-1)$. Khi đó $\Delta$ có véctơ chỉ phương $\vec{u}=\left[\vec{n}_{(P)}, \vec{n}_{(Q)}\right]=(-2 ; 1 ; 0)$.
Chọn $N(2 ; 2 ; 0)$ là một điểm chung của $(P)$ và $(Q)$. $\Delta$ đi qua $N$ nên có phương trình $\left\{\begin{array}{l}x=2-2 t \\ y=2+t \\ z=0\end{array} \quad(t \in\right.$ $\mathbb{R})$.
Vì $M \in \Delta$ nên $M=(2-2 t ; 2+t ; 0)$. Theo định lý cosin trong tam giác $M A B$, ta có $\cos \widehat{A M B}=\dfrac{M A^2+M B^2-A B^2}{2 M A \cdot M B}=\dfrac{2 M A^2-A B^2}{2 M A^2}=1-\dfrac{A B^2}{2 M A^2}$.
Vì $A B$ không đổi nên từ biểu thức trên ta có $\widehat{A M B}$ lớn nhất $\Leftrightarrow \cos \widehat{A M B}$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow M A^2$ nhỏ nhât. Ta có $M A^2=(2 t)^2+(t+3)^2=5 t^2+6 t+9=5\left(t+\dfrac{3}{5}\right)^2+\dfrac{36}{5} \geq \dfrac{36}{5}$ Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow t=-\dfrac{3}{5}$, khi đó $M\left(\dfrac{16}{5} ; \dfrac{7}{5} ; 0\right)$.
Vậy $a+b=\dfrac{23}{5}$.
Đáp án C.