Trong không gian $O x y z$, cho mặt phẳng $(P): x+y+z-1=0$ và hai...

Thay tọa độ điểm $A$ và $B$ vào vế trái của phương trình mặt phẳng $(P)$ ta có:
$$
1+(-3)+0-1=-3<0 \text { và } 5+(-1)+(-2)-1=1>0
$$
Nên suy ra $A$ và $B$ nằm khác phía so với mặt phẳng $(P)$.
Gọi $B^{\prime}=\left(\dfrac{13}{3} ;-\dfrac{5}{3} ;-\dfrac{8}{3}\right)$ là điểm đối xứng với $B$ qua $(P)$. Ta có
$$
|M A-M B|=\left|M A-M B^{\prime}\right| \leq A B^{\prime}
$$
Do đó $|M A-M B|$ lớn nhất là bằng $A B^{\prime}$ khi và chỉ khi $M$ là giao điểm của đường thẳng $A B^{\prime}$ với mặt phẳng $(P)$.
Ta có $\overrightarrow{A B^{\prime}}=\left(\dfrac{10}{3} ; \dfrac{4}{3} ;-\dfrac{8}{3}\right)$ nên đường thẳng $A B^{\prime}$ có véc-tơ chỉ phương $\vec{u}=(5 ; 2 ;-4)$. Phương trình đường thẳng $A B^{\prime}$ là $\left\{\begin{array}{l}x=1+5 t \\ y=-3+2 t \\ z=-4 t\end{array}\right.$.
Tọa độ điểm $M$ là nghiệm hệ $\left\{\begin{array}{l}x=1+5 t \\ y=-3+2 t \\ z=-4 t \\ x+y+z-1=0\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=6 \\ y=-1 \text {. } \\ z=-4\end{array}\right.\right.$
Như vậy $M(6 ;-1 ;-4) \Rightarrow a b c=6 .(-1) \cdot(-4)=24$.