Google
Câu hỏi: Trong không gian $O x y z$, cho mặt phẳng $(P)$ có phương trình $2 x-6 y-4 z+7=0$ và ba điểm $A(2 ; 4 ;-1), B(1 ; 4 ;-1), C(2 ; 4 ; 3)$. Gọi $S$ là điểm thuộc mặt phẳng $(P)$ sao cho $S A=S B=S C$. Tính $l=S A+S B$
A. $l=\sqrt{53}$.
B. $l=\sqrt{101}$.
C. $l=\sqrt{117}$.
D. $l=\sqrt{37}$
A. $l=\sqrt{53}$.
B. $l=\sqrt{101}$.
C. $l=\sqrt{117}$.
D. $l=\sqrt{37}$
Gọi $S(x ; y ; z)$
Vì $S \in(P)$ nên có phương trình $2 x-6 y-4 z+7=0$
Có $S A=\sqrt{(x-2)^2+(y-4)^2+(z+1)^2}$
$S B=\sqrt{(x-1)^2+(y-4)^2+(z+1)^2}$
$S C=\sqrt{(x-2)^2+(y-4)^2+(z-3)^2}$
Vì $S A=S B=S C$ nên ta có hệ phương trình
$
\left\{\begin{array} { l }
{ ( x - 2 ) ^ { 2 } + ( y - 4 ) ^ { 2 } + ( z + 1 ) ^ { 2 } = ( x - 1 ) ^ { 2 } + ( y - 4 ) ^ { 2 } + ( z + 1 ) ^ { 2 } } \\
{ ( x - 2 ) ^ { 2 } + ( y - 4 ) ^ { 2 } + ( z + 1 ) ^ { 2 } = ( x - 2 ) ^ { 2 } + ( y - 4 ) ^ { 2 } + ( z - 3 ) ^ { 2 } } \\
{ 2 x - 6 y - 4 z + 7 = 0 }
\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
x=\dfrac{3}{2} \\
y=1 \\
z=1
\end{array}\right.\right.
$
Suy ra $S A=\dfrac{\sqrt{53}}{2} ; S B=\dfrac{\sqrt{53}}{2}$. Suy ra $l=\sqrt{53}$.
Vì $S \in(P)$ nên có phương trình $2 x-6 y-4 z+7=0$
Có $S A=\sqrt{(x-2)^2+(y-4)^2+(z+1)^2}$
$S B=\sqrt{(x-1)^2+(y-4)^2+(z+1)^2}$
$S C=\sqrt{(x-2)^2+(y-4)^2+(z-3)^2}$
Vì $S A=S B=S C$ nên ta có hệ phương trình
$
\left\{\begin{array} { l }
{ ( x - 2 ) ^ { 2 } + ( y - 4 ) ^ { 2 } + ( z + 1 ) ^ { 2 } = ( x - 1 ) ^ { 2 } + ( y - 4 ) ^ { 2 } + ( z + 1 ) ^ { 2 } } \\
{ ( x - 2 ) ^ { 2 } + ( y - 4 ) ^ { 2 } + ( z + 1 ) ^ { 2 } = ( x - 2 ) ^ { 2 } + ( y - 4 ) ^ { 2 } + ( z - 3 ) ^ { 2 } } \\
{ 2 x - 6 y - 4 z + 7 = 0 }
\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
x=\dfrac{3}{2} \\
y=1 \\
z=1
\end{array}\right.\right.
$
Suy ra $S A=\dfrac{\sqrt{53}}{2} ; S B=\dfrac{\sqrt{53}}{2}$. Suy ra $l=\sqrt{53}$.
Đáp án A.
