Google
Câu hỏi: Trong không gian $O x y z$, cho điểm $A(0 ; 1 ; 9)$ và mặt cầu $(S)$ có phương trình: $(x-3)^2+$ $(y-4)^2+(z-4)^2=25$. Gọi $(C)$ là giao tuyến của $(S)$ với mặt phẳng $(O x y)$. Lấy hai điểm $M, N$ trên $(C)$ sao cho $M N=2 \sqrt{5}$. Khi tứ diện $O A M N$ có thể tích lớn nhất thì đường thẳng $M N$ đi qua điểm nào trong số các điểm dưới đây?
A. $(5 ;-5 ; 0)$.
B. $\left(\dfrac{7}{5} ; \dfrac{49}{5} ; 0\right)$.
C. $(4 ; 6 ; 0)$.
D. $\left(\dfrac{49}{5} ; \dfrac{7}{5} ; 0\right)$.
A. $(5 ;-5 ; 0)$.
B. $\left(\dfrac{7}{5} ; \dfrac{49}{5} ; 0\right)$.
C. $(4 ; 6 ; 0)$.
D. $\left(\dfrac{49}{5} ; \dfrac{7}{5} ; 0\right)$.
Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(3 ; 4 ; 4)$ và $R=5$.
Nhận xét: Khoảng cách từ $A$ đến $(O M N)$ không đổi nên thể tích tứ diện $O A M N$ lớn nhất khi diện tích tam giác $O M N$ lớn nhất hay $d(O, M N)$ lớn nhất $\Leftrightarrow O, H, T$ thẳng hàng, trong đó $H(3 ; 4 ; 0)$ là tâm đường tròn $(C)$ và $T$ là trung điểm của $M N$.
Ta có: $d(I,(O x y))=4 \Rightarrow$ Bán kính đường tròn $(C): r=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$ ;
$H T=\sqrt{r^2-\left(\dfrac{M N}{2}\right)^2}=\sqrt{3^2-\left(\dfrac{2 \sqrt{5}}{2}\right)^2}=2$.
Khi đó, $\left\{\begin{array}{l}M N \perp O H \\ O T=O H+H T=5+2=7\end{array} \Rightarrow \overrightarrow{O T}=\dfrac{7}{5} \overrightarrow{O H}=\left(\dfrac{21}{5} ; \dfrac{28}{5} ; 0\right) \Rightarrow T\left(\dfrac{21}{5} ; \dfrac{28}{5} ; 0\right)\right.$.
$\Rightarrow[\vec{k}, \overrightarrow{O T}]=\left(-\dfrac{28}{5} ; \dfrac{21}{5} ; 0\right)$. Chọn $\vec{u}_{M N}=(-4 ; 3 ; 0)$.
Phương trình đường thẳng $M N:\left\{\begin{array}{l}x=\dfrac{21}{5}-4 t \\ y=\dfrac{28}{5}+3 t \\ z=0\end{array}\right.$. Chọn $t=-\dfrac{7}{5} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=\dfrac{49}{5} \\ y=\dfrac{7}{5} \\ z=0\end{array}\right.$.
Vậy khi tứ diện $O A M N$ có thể tích lớn nhất thì đường thẳng $M N$ đi qua điểm $\left(\dfrac{49}{5} ; \dfrac{7}{5} ; 0\right)$.
Nhận xét: Khoảng cách từ $A$ đến $(O M N)$ không đổi nên thể tích tứ diện $O A M N$ lớn nhất khi diện tích tam giác $O M N$ lớn nhất hay $d(O, M N)$ lớn nhất $\Leftrightarrow O, H, T$ thẳng hàng, trong đó $H(3 ; 4 ; 0)$ là tâm đường tròn $(C)$ và $T$ là trung điểm của $M N$.
Ta có: $d(I,(O x y))=4 \Rightarrow$ Bán kính đường tròn $(C): r=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$ ;
$H T=\sqrt{r^2-\left(\dfrac{M N}{2}\right)^2}=\sqrt{3^2-\left(\dfrac{2 \sqrt{5}}{2}\right)^2}=2$.
Khi đó, $\left\{\begin{array}{l}M N \perp O H \\ O T=O H+H T=5+2=7\end{array} \Rightarrow \overrightarrow{O T}=\dfrac{7}{5} \overrightarrow{O H}=\left(\dfrac{21}{5} ; \dfrac{28}{5} ; 0\right) \Rightarrow T\left(\dfrac{21}{5} ; \dfrac{28}{5} ; 0\right)\right.$.
$\Rightarrow[\vec{k}, \overrightarrow{O T}]=\left(-\dfrac{28}{5} ; \dfrac{21}{5} ; 0\right)$. Chọn $\vec{u}_{M N}=(-4 ; 3 ; 0)$.
Phương trình đường thẳng $M N:\left\{\begin{array}{l}x=\dfrac{21}{5}-4 t \\ y=\dfrac{28}{5}+3 t \\ z=0\end{array}\right.$. Chọn $t=-\dfrac{7}{5} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=\dfrac{49}{5} \\ y=\dfrac{7}{5} \\ z=0\end{array}\right.$.
Vậy khi tứ diện $O A M N$ có thể tích lớn nhất thì đường thẳng $M N$ đi qua điểm $\left(\dfrac{49}{5} ; \dfrac{7}{5} ; 0\right)$.
Đáp án D.