Google
Câu hỏi: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ${{z}^{2}}-2\left( m+1 \right)z+8m-4=0$ ( $m$ là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn: $\left| z_{1}^{2}-2m{{z}_{1}}+8m \right|=\left| z_{2}^{2}-2m{{z}_{2}}+8m \right|$.
A. $5$.
B. $3$.
C. $6$.
D. $4$.
A. $5$.
B. $3$.
C. $6$.
D. $4$.
Phương trình ${{z}^{2}}-2\left( m+1 \right)z+8m-4=0$ có ${{\Delta }^{'}}={{\left( m+1 \right)}^{2}}-8m+4={{m}^{2}}-6m+5$ và
${{z}^{2}}-2\left( m+1 \right)z+8m-4=0$ $\Leftrightarrow {{z}^{2}}-2mz+8m=2z+4$.
Khi đó $\left| z_{1}^{2}-2m{{z}_{1}}+8m \right|=\left| z_{2}^{2}-2m{{z}_{2}}+8m \right|\Leftrightarrow \left| 2{{z}_{1}}+4 \right|=\left| 2{{z}_{2}}+4 \right|$ $\Leftrightarrow \left| {{z}_{1}}+2 \right|=\left| {{z}_{2}}+2 \right|$.
TH1: ${{\Delta }^{'}}>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-6m+5>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m<1 \\
& m>5 \\
\end{aligned} \right. \left( 1 \right)$.
Phương trình đã cho có 2 nghiệm thực phân biệt ${{z}_{1}}\ne {{z}_{2}}$ và ${{z}_{1}}+{{z}_{2}}=2\left( m+1 \right)$.
Nên $\left| {{z}_{1}}+2 \right|=\left| {{z}_{2}}+2 \right|\Leftrightarrow {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-4\Leftrightarrow 2\left( m+1 \right)=-4\Leftrightarrow m+1=-2\Leftrightarrow m=-3$.
TH2: ${{\Delta }^{'}}<0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-6m+5<0\Leftrightarrow 1<m<5 \left( 2 \right)$. Phương trình đã cho có 2 nghiệm phức phân biệt ${{z}_{1}}\ne {{z}_{2}}$ và ${{z}_{1}}=m+1-\sqrt{-{{m}^{2}}+6m-5}.i;{{z}_{2}}=m+1+\sqrt{-{{m}^{2}}+6m-5}.i$ nên $\left| {{z}_{1}}+2 \right|=\left| {{z}_{2}}+2 \right|\Leftrightarrow {{\left| {{z}_{1}}+2 \right|}^{2}}={{\left| {{z}_{2}}+2 \right|}^{2}}$
$\Leftrightarrow {{\left( m+3 \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{-{{m}^{2}}+6m-5} \right)}^{2}}={{\left( m+3 \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{-{{m}^{2}}+6m-5} \right)}^{2}}$.
${{z}^{2}}-2\left( m+1 \right)z+8m-4=0$ $\Leftrightarrow {{z}^{2}}-2mz+8m=2z+4$.
Khi đó $\left| z_{1}^{2}-2m{{z}_{1}}+8m \right|=\left| z_{2}^{2}-2m{{z}_{2}}+8m \right|\Leftrightarrow \left| 2{{z}_{1}}+4 \right|=\left| 2{{z}_{2}}+4 \right|$ $\Leftrightarrow \left| {{z}_{1}}+2 \right|=\left| {{z}_{2}}+2 \right|$.
TH1: ${{\Delta }^{'}}>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-6m+5>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m<1 \\
& m>5 \\
\end{aligned} \right. \left( 1 \right)$.
Phương trình đã cho có 2 nghiệm thực phân biệt ${{z}_{1}}\ne {{z}_{2}}$ và ${{z}_{1}}+{{z}_{2}}=2\left( m+1 \right)$.
Nên $\left| {{z}_{1}}+2 \right|=\left| {{z}_{2}}+2 \right|\Leftrightarrow {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-4\Leftrightarrow 2\left( m+1 \right)=-4\Leftrightarrow m+1=-2\Leftrightarrow m=-3$.
TH2: ${{\Delta }^{'}}<0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-6m+5<0\Leftrightarrow 1<m<5 \left( 2 \right)$. Phương trình đã cho có 2 nghiệm phức phân biệt ${{z}_{1}}\ne {{z}_{2}}$ và ${{z}_{1}}=m+1-\sqrt{-{{m}^{2}}+6m-5}.i;{{z}_{2}}=m+1+\sqrt{-{{m}^{2}}+6m-5}.i$ nên $\left| {{z}_{1}}+2 \right|=\left| {{z}_{2}}+2 \right|\Leftrightarrow {{\left| {{z}_{1}}+2 \right|}^{2}}={{\left| {{z}_{2}}+2 \right|}^{2}}$
$\Leftrightarrow {{\left( m+3 \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{-{{m}^{2}}+6m-5} \right)}^{2}}={{\left( m+3 \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{-{{m}^{2}}+6m-5} \right)}^{2}}$.
Đáp án D.
