Google
Câu hỏi: Trên tập hợp số phức, cho phương trình ${{z}^{2}}-2mz+6m-5=0$ (với $m$ là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ thỏa mãn ${{z}_{1}}\overline{{{z}_{1}}}={{z}_{2}}.\overline{{{z}_{2}}}$ ?
A. $5$.
B. $3$.
C. $6$.
D. $4$.
A. $5$.
B. $3$.
C. $6$.
D. $4$.
Trường hợp 1: phương trình có ${\Delta }'>0\Leftrightarrow {{\left( -m \right)}^{2}}-\left( 6m-5 \right)>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-6m+5>0\Leftrightarrow m<1 \vee m>5$.
Khi đó: ${{z}_{1}}\overline{{{z}_{1}}}={{z}_{2}}.\overline{{{z}_{2}}}\Leftrightarrow z_{1}^{2}=z_{2}^{2}\Leftrightarrow \left( {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right).\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}-{{z}_{2}}=0 \left( l \right) \\
& {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=0 \left( n \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Với ${{z}_{1}}+{{z}_{2}}=0\Leftrightarrow 2m=0\Leftrightarrow m=0$ (loại).
Trường hợp 2: phương trình có
${\Delta }'<0\Leftrightarrow {{\left( -m \right)}^{2}}-\left( 6m-5 \right)<0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-6m+5<0\Leftrightarrow 1<m<5$.
Khi đó: ${{z}_{1}}\overline{{{z}_{1}}}={{z}_{2}}.\overline{{{z}_{2}}}\Leftrightarrow {{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}={{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}$ (luôn đúng).
Mà $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ 2;3;4 \right\}$ do vậy có $3$ giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn đề bài.
Khi đó: ${{z}_{1}}\overline{{{z}_{1}}}={{z}_{2}}.\overline{{{z}_{2}}}\Leftrightarrow z_{1}^{2}=z_{2}^{2}\Leftrightarrow \left( {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right).\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}-{{z}_{2}}=0 \left( l \right) \\
& {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=0 \left( n \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Với ${{z}_{1}}+{{z}_{2}}=0\Leftrightarrow 2m=0\Leftrightarrow m=0$ (loại).
Trường hợp 2: phương trình có
${\Delta }'<0\Leftrightarrow {{\left( -m \right)}^{2}}-\left( 6m-5 \right)<0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-6m+5<0\Leftrightarrow 1<m<5$.
Khi đó: ${{z}_{1}}\overline{{{z}_{1}}}={{z}_{2}}.\overline{{{z}_{2}}}\Leftrightarrow {{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}={{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}$ (luôn đúng).
Mà $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ 2;3;4 \right\}$ do vậy có $3$ giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn đề bài.
Đáp án B.