Google
Câu hỏi: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ${{z}^{2}}-2mz+3m+10=0$ ( $m$ là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ thỏa mãn ${{z}_{1}}\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{1}}}{{z}_{2}}+20=0$.
A. $2$.
B. $1$.
C. $4$.
D. $3$.
A. $2$.
B. $1$.
C. $4$.
D. $3$.
Ta có ${\Delta }'={{m}^{2}}-3m-10$.
Với ${\Delta }'\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m\ge 5 \\
& m\le -2 \\
\end{aligned} \right. $. Phương trình có hai nghiệm $ {{z}_{1}} $, $ {{z}_{2}} $ là số thực, do đó $ \overline{{{z}_{1}}}={{z}_{1}} $, $ \overline{{{z}_{2}}}={{z}_{2}}$.
Suy ra ${{z}_{1}}\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{1}}}{{z}_{2}}+20=0\Leftrightarrow {{z}_{1}}{{z}_{2}}=-10\Leftrightarrow 3m+10=-10\Leftrightarrow m=-\dfrac{20}{3}$ (nhận).
Với ${\Delta }'<0\Leftrightarrow -2<m<5$. Phương trình có hai nghiệm ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ là số phức không thực, do đó $\overline{{{z}_{2}}}={{z}_{1}}$, $\overline{{{z}_{1}}}={{z}_{2}}$.
Suy ra
$\begin{aligned}
& {{z}_{1}}\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{1}}}{{z}_{2}}+20=0\Leftrightarrow z_{1}^{2}+z_{2}^{2}=-20 \\
& \Leftrightarrow {{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)}^{2}}-2{{z}_{1}}{{z}_{2}}=-20\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-2\left( 3m+10 \right)=-20 \\
& \Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-6m=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=\dfrac{3}{2} \\
& m=0. \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
So với điều kiện nhận $m=0$, $m=\dfrac{3}{2}$.
Vậy có $3$ giá trị $m$ thỏa yêu cầu bài toán.
Với ${\Delta }'\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m\ge 5 \\
& m\le -2 \\
\end{aligned} \right. $. Phương trình có hai nghiệm $ {{z}_{1}} $, $ {{z}_{2}} $ là số thực, do đó $ \overline{{{z}_{1}}}={{z}_{1}} $, $ \overline{{{z}_{2}}}={{z}_{2}}$.
Suy ra ${{z}_{1}}\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{1}}}{{z}_{2}}+20=0\Leftrightarrow {{z}_{1}}{{z}_{2}}=-10\Leftrightarrow 3m+10=-10\Leftrightarrow m=-\dfrac{20}{3}$ (nhận).
Với ${\Delta }'<0\Leftrightarrow -2<m<5$. Phương trình có hai nghiệm ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ là số phức không thực, do đó $\overline{{{z}_{2}}}={{z}_{1}}$, $\overline{{{z}_{1}}}={{z}_{2}}$.
Suy ra
$\begin{aligned}
& {{z}_{1}}\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{1}}}{{z}_{2}}+20=0\Leftrightarrow z_{1}^{2}+z_{2}^{2}=-20 \\
& \Leftrightarrow {{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)}^{2}}-2{{z}_{1}}{{z}_{2}}=-20\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-2\left( 3m+10 \right)=-20 \\
& \Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-6m=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=\dfrac{3}{2} \\
& m=0. \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
So với điều kiện nhận $m=0$, $m=\dfrac{3}{2}$.
Vậy có $3$ giá trị $m$ thỏa yêu cầu bài toán.
Đáp án D.