Trên tập hợp số phức, xét phương trình ${{z}^{2}}-2mz+8m-12=0$ với...

- Ta có $\Delta '={{\left( -m \right)}^{2}}-1\left( 8m-12 \right)={{m}^{2}}-8m+12$. Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì ta xét hai trường hợp $\Delta '>0$ hoặc $\Delta '<0$.
- TH1: $\Delta '>0\Leftrightarrow m>6$ hoặc $m<2$ thì phương trình có hai nghiệm thực ${{z}_{1}}=m-\sqrt{\Delta '}$ và ${{z}_{2}}=m+\sqrt{\Delta '}$.
Theo giả thiết $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}={{z}_{2}} \\
& {{z}_{1}}=-{{z}_{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m-\sqrt{\Delta '}=m+\sqrt{\Delta '} \\
& m-\sqrt{\Delta '}=-m-\sqrt{\Delta '} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \Delta '=0 \\
& m=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=6 \left( L \right) \\
& m=2 \left( L \right) \\
& m=0 \\
\end{aligned} \right.$.
- TH2: $\Delta '<0\Leftrightarrow 2<m<6$ thì phương trình luôn có 2 nghiệm phức ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}$ thoả $\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|$.
Vậy giá trị $m$ thoả mãn yêu cầu bài toán là $\left[ \begin{aligned}
& 2<m<6 \\
& m=0 \\
\end{aligned} \right. $. Vì $ m $ nguyên nên $ m\in \left\{ 0; 3; 4; 5 \right\}$.