Google
Câu hỏi: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ${{z}^{2}}+2mz-m+12=0$ ( $m$ là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=\sqrt{2}\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$ ?
A. $1$.
B. $2$.
C. $3$.
D. $4$.
A. $1$.
B. $2$.
C. $3$.
D. $4$.
Phương trình đã cho có ${\Delta }'={{m}^{2}}+m-12$.
Trường hợp 1: ${\Delta }'>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}+m-12>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m<-4 \\
& m>3 \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó, phương trình đã cho có hai nghiệm thực ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ phân biệt.
Do đó, $\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=\sqrt{2}\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$
$\Leftrightarrow {{\left( \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right| \right)}^{2}}={{\left( \sqrt{2}\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right| \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+2\left| {{z}_{1}}{{z}_{2}} \right|=2\left( z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-2{{z}_{1}}{{z}_{2}} \right)$
$\Leftrightarrow {{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)}^{2}}-2{{z}_{1}}{{z}_{2}}+2\left| {{z}_{1}}{{z}_{2}} \right|=2\left[ {{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)}^{2}}-4{{z}_{1}}{{z}_{2}} \right]$
$\Leftrightarrow {{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)}^{2}}-6{{z}_{1}}{{z}_{2}}-2\left| {{z}_{1}}{{z}_{2}} \right|=0$
$\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-6\left( -m+12 \right)-2\left| -m+12 \right|=0\ \left( * \right)$
Nếu $m<-4$ hoặc $3<m<12$ thì $\left( * \right)\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-8\left( -m+12 \right)=0\Leftrightarrow {{m}^{2}}+2m-24=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-6 \\
& m=4 \\
\end{aligned} \right.$.
Nếu $m\ge 12$ thì $\left( * \right)\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-4\left( -m+12 \right)=0\Leftrightarrow {{m}^{2}}+m-12=0$ (không thỏa mãn).
Trường hợp 2: ${\Delta }'<0\Leftrightarrow {{m}^{2}}+m-12<0\Leftrightarrow -4<m<3$.
Khi đó, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ là hai số phức liên hợp:
$-m+i\sqrt{-{{m}^{2}}-m+12}$ và $-m-i\sqrt{-{{m}^{2}}-m+12}$.
Do đó, $\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=\sqrt{2}\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$
$\Leftrightarrow 2\sqrt{{{m}^{2}}+\left( -{{m}^{2}}-m+12 \right)}=2\sqrt{-{{m}^{2}}-m+12}$
$\Leftrightarrow -m+12=-{{m}^{2}}-m+12$
$\Leftrightarrow m=0$ (thỏa mãn).
Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn đề bài.
Trường hợp 1: ${\Delta }'>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}+m-12>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m<-4 \\
& m>3 \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó, phương trình đã cho có hai nghiệm thực ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ phân biệt.
Do đó, $\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=\sqrt{2}\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$
$\Leftrightarrow {{\left( \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right| \right)}^{2}}={{\left( \sqrt{2}\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right| \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+2\left| {{z}_{1}}{{z}_{2}} \right|=2\left( z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-2{{z}_{1}}{{z}_{2}} \right)$
$\Leftrightarrow {{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)}^{2}}-2{{z}_{1}}{{z}_{2}}+2\left| {{z}_{1}}{{z}_{2}} \right|=2\left[ {{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)}^{2}}-4{{z}_{1}}{{z}_{2}} \right]$
$\Leftrightarrow {{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)}^{2}}-6{{z}_{1}}{{z}_{2}}-2\left| {{z}_{1}}{{z}_{2}} \right|=0$
$\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-6\left( -m+12 \right)-2\left| -m+12 \right|=0\ \left( * \right)$
Nếu $m<-4$ hoặc $3<m<12$ thì $\left( * \right)\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-8\left( -m+12 \right)=0\Leftrightarrow {{m}^{2}}+2m-24=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-6 \\
& m=4 \\
\end{aligned} \right.$.
Nếu $m\ge 12$ thì $\left( * \right)\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-4\left( -m+12 \right)=0\Leftrightarrow {{m}^{2}}+m-12=0$ (không thỏa mãn).
Trường hợp 2: ${\Delta }'<0\Leftrightarrow {{m}^{2}}+m-12<0\Leftrightarrow -4<m<3$.
Khi đó, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ là hai số phức liên hợp:
$-m+i\sqrt{-{{m}^{2}}-m+12}$ và $-m-i\sqrt{-{{m}^{2}}-m+12}$.
Do đó, $\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=\sqrt{2}\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$
$\Leftrightarrow 2\sqrt{{{m}^{2}}+\left( -{{m}^{2}}-m+12 \right)}=2\sqrt{-{{m}^{2}}-m+12}$
$\Leftrightarrow -m+12=-{{m}^{2}}-m+12$
$\Leftrightarrow m=0$ (thỏa mãn).
Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn đề bài.
Đáp án C.