Google
Câu hỏi: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ${{z}^{2}}-2mz+8m-12=0$ ( $m$ là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=4$ ?
A. $1$.
B. $2$.
C. $3$.
D. $4$.
A. $1$.
B. $2$.
C. $3$.
D. $4$.
Ta có ${\Delta }'={{m}^{2}}-8m+12$. Xét hai trường hợp:
+) Trường hợp 1: ${\Delta }'>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-8m+12>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m>6 \\
& m<2 \\
\end{aligned} \right.$.
Phương trình có hai nghiệm thực ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ và $\left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=2m \\
& {{z}_{1}}.{{z}_{2}}=8m-12 \\
\end{aligned} \right.$.
Theo giả thiết: $\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=4\Leftrightarrow z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+2\left| {{z}_{1}}{{z}_{2}} \right|=16$ $\Leftrightarrow {{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)}^{2}}-2{{z}_{1}}{{z}_{2}}+2\left| {{z}_{1}}{{z}_{2}} \right|=16$
$\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-2\left( 8m-12 \right)+2\left| 8m-12 \right|=16$
$\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-16m+8+2\left| 8m-12 \right|=0$
Với $m>6$ hoặc $\dfrac{3}{2}\le m<2$ :
$\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-16m+8+2\left( 8m-12 \right)=0\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-16=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=2 \left( KTM \right) \\
& m=-2 \left( KTM \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Với $m<\dfrac{3}{2}$ :
$\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-16m+8+2\left( -8m+12 \right)=0\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-32m+32=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=4-2\sqrt{2} (TM) \\
& m=4+2\sqrt{2} \left( KTM \right) \\
\end{aligned} \right.$.
+) Trường hợp 2: ${\Delta }'<0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-8m+12<0\Leftrightarrow 2<m<6$.
Phương trình có hai nghiệm phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ và ${{z}_{1}}=\overline{{{z}_{2}}}\Rightarrow \left| {{z}_{1}} \right|=\left| \overline{{{z}_{2}}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|$.
Theo giả thiết $\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=4\Leftrightarrow 2\left| {{z}_{1}} \right|=4\Leftrightarrow \left| {{z}_{1}} \right|=2$.
Khi đó $\Leftrightarrow \left| m+i\sqrt{{{m}^{2}}-8m+12} \right|=2\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-8m+8=0\Leftrightarrow m=2 $.
Vậy có một giá trị của $m$ thỏa mãn là $m=4-2\sqrt{2}$.
+) Trường hợp 1: ${\Delta }'>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-8m+12>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m>6 \\
& m<2 \\
\end{aligned} \right.$.
Phương trình có hai nghiệm thực ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ và $\left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=2m \\
& {{z}_{1}}.{{z}_{2}}=8m-12 \\
\end{aligned} \right.$.
Theo giả thiết: $\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=4\Leftrightarrow z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+2\left| {{z}_{1}}{{z}_{2}} \right|=16$ $\Leftrightarrow {{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)}^{2}}-2{{z}_{1}}{{z}_{2}}+2\left| {{z}_{1}}{{z}_{2}} \right|=16$
$\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-2\left( 8m-12 \right)+2\left| 8m-12 \right|=16$
$\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-16m+8+2\left| 8m-12 \right|=0$
Với $m>6$ hoặc $\dfrac{3}{2}\le m<2$ :
$\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-16m+8+2\left( 8m-12 \right)=0\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-16=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=2 \left( KTM \right) \\
& m=-2 \left( KTM \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Với $m<\dfrac{3}{2}$ :
$\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-16m+8+2\left( -8m+12 \right)=0\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-32m+32=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=4-2\sqrt{2} (TM) \\
& m=4+2\sqrt{2} \left( KTM \right) \\
\end{aligned} \right.$.
+) Trường hợp 2: ${\Delta }'<0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-8m+12<0\Leftrightarrow 2<m<6$.
Phương trình có hai nghiệm phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ và ${{z}_{1}}=\overline{{{z}_{2}}}\Rightarrow \left| {{z}_{1}} \right|=\left| \overline{{{z}_{2}}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|$.
Theo giả thiết $\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=4\Leftrightarrow 2\left| {{z}_{1}} \right|=4\Leftrightarrow \left| {{z}_{1}} \right|=2$.
Khi đó $\Leftrightarrow \left| m+i\sqrt{{{m}^{2}}-8m+12} \right|=2\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-8m+8=0\Leftrightarrow m=2 $.
Vậy có một giá trị của $m$ thỏa mãn là $m=4-2\sqrt{2}$.
Đáp án A.