Google
Câu hỏi: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ${{z}^{2}}-2\left( m+1 \right)z+8m-4=0$ với $m$ là tham số thực Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| z_{1}^{2}-2m{{z}_{1}}+8m \right|=\left| z_{2}^{2}-2m{{z}_{2}}+8m \right|$ Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $5$.
B. $3$.
C. $6$.
D. $4$.
A. $5$.
B. $3$.
C. $6$.
D. $4$.
Nhận xét: Cho số phức $z$ và số thực $a$, ta có: $\left| z+a \right|=\left| \overline{z}+a \right|$.
TH1: ${\Delta }'={{\left( m+1 \right)}^{2}}-8m+4<0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-6m+5<0\Leftrightarrow 1<m<5\Rightarrow {{z}_{1}}, {{z}_{2}}$ là hai số phức có phần ảo khác $0$.
${{z}^{2}}-2mz+8m=2z+4\Rightarrow \left| z_{1}^{2}-2m{{z}_{1}}+8m \right|=\left| z_{2}^{2}-2m{{z}_{2}}+8m \right|\Leftrightarrow \left| {{z}_{1}}+2 \right|=\left| {{z}_{2}}+2 \right|$ (luôn đúng).
$\Rightarrow m\in \left\{ 2;3;4 \right\}$.
TH 2: ${\Delta }'>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m>5 \\
& m<1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{z}_{1}}, {{z}_{2}}$ là hai nghiêm thực.
$\left| {{z}_{1}}+2 \right|=\left| {{z}_{2}}+2 \right|\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}={{z}_{2}} \left( l \right) \\
& {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-4 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow 2\left( m+1 \right)=-4\Leftrightarrow m=-3 \left( t/m \right)$.
Vậy $m\in \left\{ -3;2;3;4 \right\}$.
TH1: ${\Delta }'={{\left( m+1 \right)}^{2}}-8m+4<0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-6m+5<0\Leftrightarrow 1<m<5\Rightarrow {{z}_{1}}, {{z}_{2}}$ là hai số phức có phần ảo khác $0$.
${{z}^{2}}-2mz+8m=2z+4\Rightarrow \left| z_{1}^{2}-2m{{z}_{1}}+8m \right|=\left| z_{2}^{2}-2m{{z}_{2}}+8m \right|\Leftrightarrow \left| {{z}_{1}}+2 \right|=\left| {{z}_{2}}+2 \right|$ (luôn đúng).
$\Rightarrow m\in \left\{ 2;3;4 \right\}$.
TH 2: ${\Delta }'>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m>5 \\
& m<1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{z}_{1}}, {{z}_{2}}$ là hai nghiêm thực.
$\left| {{z}_{1}}+2 \right|=\left| {{z}_{2}}+2 \right|\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}={{z}_{2}} \left( l \right) \\
& {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-4 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow 2\left( m+1 \right)=-4\Leftrightarrow m=-3 \left( t/m \right)$.
Vậy $m\in \left\{ -3;2;3;4 \right\}$.
Đáp án D.